14. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

СВ Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всех значений аргумента.

Вероятность попадания НСВ Х на участок от х до х+△х = приращению функции распределения на этом участке: p(x<X<x+△x)=F(x+△x)-F(x).

Тогда плотность вероятности на этом участке = .

При △x-> и переходя к пределу, получаем:

– плотность распределения вероятности

Плотность распределения вероятности – функция, которая является 1 из форм закона распределения непрерывной СВ.

График плотности распределения называется кривой распределения.

Свойства f(x):

1. Плотность распределения неотрицательна f(x)≥0, т.к. ее первообразная F(x) является неубывающей функцией;

2. Условие нормировки: ;

3. F(x)= ;

4. Вероятность попадания СВ в интервал (α;β): P(α<X<β)= .

15. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины и их свойства.

Математическое ожидание М(х) – характеризует среднее значение случайной величины и вычисляется:

В качестве М(Х) используются средне взвешенные значения, при чем каждое из значений СВ учитывается с весом пропорциональным вероятности этого значения.

Физический смысл М(Х):

Среднее значение СВ, т.е. то значение, которое используется вместо СВ в приближенных расчетах.

Свойства М(Х):

1. М(С)=С

2. М(X+-Y)=M(X)+-M(Y)

3. M(C*X)=C*M(X)

16. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

Дисперсия СВ характеризует степень рассеивания (разброса) значений СВ около ее математического ожидания и определяется по формулам:

Свойства Д(Х):

1. Д(С)=0

2. Д(С*Х)=С*C*Д(Х)

3. Д(X+-Y)= Д (X)+ Д (Y)

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата СВ, поэтому для анализа диапазона значений СВ Х дисперсия не совсем удобна. Для этого используется средне квадратическое отклонение, размерность которого совпадает с размерностью СВ Х: .

17. Биноминальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия случайной, величины распределенной по биноминальному закону.

Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины - числа появлений событий в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ; вероятность возможного значения ( числа появлений события ) вычисляют по формуле Бернулли : , где . При этом математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

Условия возникновения: проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. СВ Х – число опытов, в которых произошло событие А.

18. Закон распределения Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала, то вероятность того, что некоторое событие появиться раз в испытаниях, приближенно вычисляется по формуле: , где - число появлений событий в независимых испытаниях, - среднее число появлений событий в испытаниях. Случайная величина, характеризующая число наступлений события в независимых испытаниях, распределена по закону Пуассона, если

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона:

Условия возникновения: применяется, когда число опытов n неограниченно увеличивается, а вероятность р наступления события А в 1 опыте ->0, так что существует предел: .