Линейная корреляционная зависимость и прямые регрессии.
Линейную
корреляционную зависимость между
переменными
и
выражают в виде линейного уравнения
регрессии:
или
,
неизвестные
параметры которых находим методом
наименьших квадратов.
Система нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:
где соответствующие средние определяются по формулам:
Подставляя
значения
в уравнение регрессии
получаем:
или
,
где
коэффициент
получил название коэффициента
регрессии
по
и обозначение
.
Этот коэффициент показывает на сколько
единиц в среднем изменяется переменная
при
увеличении переменной
на одну единицу.
Решая систему
нормальных уравнений, найдем
:
,
где
-
выборочная дисперсия переменной
:
,
-
выборочный корреляционный момент или
выборочная ковариация:
,
-
выборочный коэффициент корреляции:
.
Уравнение регрессии
по
окончательно
выглядит следующим образом:
.
Рассуждая аналогично
находят уравнение регрессии
по
:
.
Сравнение уравнения регрессии, полученные методом наименьших квадратов, с уравнением регрессии двумерной случайной величины с нормальным законом распределения показывает их идентичность.
Коэффициент линейной корреляции и его свойства.
Для оценки тесноты связи между переменными и по выборочным значениям используют статистический коэффициент корреляции : .
Если данные не
сгруппированы в виде корреляционной
таблицы и представляют
пар чисел
,
то для вычисления коэффициента корреляции
проводят по следующей формуле:
.
Между коэффициентом
корреляции
и
коэффициентами регрессии
и
существует
связь:
,
,
.
Основные свойства коэффициента корреляции (при достаточно большом объеме выборке ):
симметричен: rxy=ryx
-1≤rxy≤1
|rxy|=1, то связь между переменными – функциональная (уравнение линии).
При
корреляционная линейная
связь отсутствует.
Для выяснения значимости коэффициента корреляции проверяется гипотеза об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными Х и У, т.е. : р=0 (генеральный коэффициент корреляции). При справедливости этой гипотезы статистика (критерий) имеет - распределение Стьюдента с степенями свободы. При заданном уровне значимости и степени свободы находим по таблицам закона распределения Стьюдента критическое значение . Если , то нулевая гипотеза об отсутствии корреляционной связи между переменными и отвергается и переменные считаются зависимыми. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Значимость коэффициента корреляции свидетельствует и о значимости коэффициентов регрессии, соответственно и о значимости линейного уравнения регрессии.