Статистическая проверка гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода при проверки гипотез. Уровень значимости, критическая область. Критерии согласия и его мощность.
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах генеральной совокупности, проверяемое по выборке.
Проверяемую
гипотезу обычно называют нулевой
.
Наряду с
нулевой гипотезой
рассматривают
альтернативную,
или
конкурирующую,
гипотезу
,
являющуюся логическим отрицанием
.
Правило, по которому принимается или отвергается , называется статистическим критерием.
Вероятность отвергнуть гипотезу , при том, что она верна (т.е. принять гипотезу Н1), называется ошибкой 1 рода или уровнем значимости и обозначается α: P{H1/H0}=α.
Величина 1-α равна вероятности принять верную гипотезу и называется уровнем доверия: P{H0/H0}=1-α=γ.
Вероятность принять основную гипотезу, если она неверна, называется ошибкой 2 рода и обозначается β: P{H0/H1}=β.
Вероятность принять гипотезу Н1, если она верна, называется мощностью критерия: P{H1/H1}=1-β.
Область допустимых
значений
(область принятия гипотезы
);
Критическая
область
(область отбрасывания гипотезы
).
Она может быть:
Правосторонняя, выбирается из соотношения:
;Левосторонняя:
;Двухсторонняя:
.
Одной из главных задач математической статистики является установление истинного закона распределения СВ на основании экспериментальных данных. На практике о виде закона распределения можно судить по графику выборочной плотности распределения вероятностей. Параметры закона распределения обычно неизвестны и их заменяют на выборочные значения. В соответствии с этим критерием, устанавливающие закон распределения, называются критериями согласия.
Проверка гипотезы о равенстве средних значении для нормального распределения при известной и неизвестной генеральной дисперсиях.
Пусть Х1 є N(a1,
σ1),
X2
є N(a2,
σ2)
и дисперсии
и
известны
(вместо х и
у – 1 и 2).
Имеются выборки {x1,
x2,…,xn1}
и{y1,
y2,…,
yn2}
из генеральных совокупностей Х1 иХ2.
Гипотеза состоит в том, что средние распределений равны, т.е. : а1=а2, при этом Н1: а1≠а2.
Если выполняется
гипотеза
,
то статистика будет иметь стандартное
нормальное распределение N(0;1)
и на заданном уровне доверия γ гипотеза
проверяется, где t
вычисляется по формуле:
.
Если же дисперсии
и
неизвестны,
но равны, то доказано, что в случае
справедливости гипотезы
статистика имеет распределение Стьюдента
с k=n1+n2
– 2 степенями свободы. Здесь S1
и S2
в квадрате «неисправленные» выборочные
дисперсии, т.е.:
или
.
(1)
Для заданного уровня доверия γ по таблицам распределения Стьюдента находим tк,кр из условия P{|tк|<tк,кр}=γ, и гипотеза принимается, если полученное после вычислений по формуле (1) значение tк удовлетворяет неравенству |tк|<tк,кр.
Если n>30, то распределения средних х и у можно считать приближенно нормальными.