Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансово-технологическая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

differentsialnoe_ischislenie.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

5.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

14. Связь между дифференцируемости и непрерывности функции.

Ответ:

Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке. Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣ непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема в этой точке. Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

15. Понятие дифференциала функции . Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Ответ:

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/ х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции.

Пример:

Пример 7.23 Пусть требуется приближённо вычислить значение

Рассмотрим функцию

и будем трактовать числа как малые отклонения на , , от "круглых" значений .

Поскольку

то дифференциал функции равен

Значение функции в точке равно значения частных производных равны

Поэтому

16. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Ответ:

Сложная функция.

Обратная функция.

Примеры:

ых

17. Вывод табличных производных.

Ответ:

Нахождение производной для tgx

18. Правило вычисления производных от суммы , произведения,

частного функций.

Ответ:

19. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.

Ответ:

Механический смысл 2-й производной.

Вывод: производная 2 порядка выражает скорость, 3 порядка ускорение.

20.Теорема Ферма, геометрический смысл теоремы Ферма.

Ответ:

Если функция имеет производную и в точке имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.

Доказательство

Пусть - точка минимума. Тогда при . Значение выражения . Значит, . Рассмотрим теперь , при этом также , и выражение . Значит, правая производная .

Следовательно . Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма

Существует такая точка , в которой касательная параллельна оси Ox.

Замечания

В точке экстремума может не быть производной. Пример: , - точка минимума, но .

Равность нулю производной - необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. То есть производная может быть равной 0 и вне точки экстремума. Пример: , но точка 0 - не экстремум.