
- •Раздел 3. Дифференциальное исчисление.
- •Понятие функции. Способы задания. Графики функции в декартовой системе координат.
- •1.Табличный способ.
- •2.Графический способ.
- •2.Параметрическое задание функции. Циклоида. Вывод параметрического уравнения циклоиды.
- •1.11. Параметрическое задание функции
- •3.Понятие приращения функции , монотонность функции. Понятие функции ограниченной, четной, нечетной, периодической.
- •4. Понятие сложной функции. Понятие обратной функции.
- •1. Понятие о сложной функции
- •5.Основные элементарные функции и их графики. (представить конспект)
- •6. Понятие бесконечно малых функций , свойства бесконечно малых функций. Ответ:
- •7. Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах.
- •8.Непрерывность функции в точке и на интервале. Свойства непрерывных функций.
- •9.Первый замечательный предел.
- •10. Понятие предела функции на бесконечности.
- •11.Второй замечательный предел
- •12.Нахождение асимптот к графику функции.
- •13. Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Понятие дифференцируемости функции в точке.
- •14. Связь между дифференцируемости и непрерывности функции.
- •15. Понятие дифференциала функции . Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
13. Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Понятие дифференцируемости функции в точке.
Ответ:
Производная. Рассмотрим
некоторую функцию y = f ( x )
в двух точках x0
и x0 +
: f ( x0 )
и f (x0 +
). Здесь через
обозначено некоторое малое изменение
аргумента, называемое приращением
аргумента;
соответственно разность между двумя
значениями
функции: f ( x0 +
) f ( x0 ) называется приращением
функции. Производной функции y = f ( x )
в точке x0 называется
предел:
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где
- угол
наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0 ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0 ) имеет вид:
y = f ’( x0 ) · x + b .
Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,
отсюда, b = f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:
y = f ( x0 ) + f ’( x0 ) · ( x – x0 ) .
Механический
смысл производной. Рассмотрим
простейший случай: движение материальной
точки вдоль координатной оси, причём
закон движения задан: координата x
движущейся точки –известная
функция x ( t )
времени t.
В течение
интервала времени от t0
до t0 +
точка
перемещается на расстояние: x ( t0 +
) x ( t0 )
=
,
а её средняя
скорость равна: va =
.При
0
значение средней скорости стремится к
определённой величине, которая
называетсямгновенной
скоростью v ( t0 )
материальной точки в момент времени t0 .
Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Понятие дифференцируемости функции в точке.
Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. lim α(Δx)=0.
Δx→0
Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную. Доказательство Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.
Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A . Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.
Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.