4. Понятие сложной функции. Понятие обратной функции.

Ответ:

1. Понятие о сложной функции

Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Понятие обратной функции. Функция, принимающая каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой . Таким образом, функция f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой. Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией. Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x).

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно Х. Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует.

5.Основные элементарные функции и их графики. (представить конспект)

«Каждый из вас перепишете в тетради элементарные функции и изобразите их график. Может попадется на экзамене чтоб показали тетрадь.»

6. Понятие бесконечно малых функций , свойства бесконечно малых функций. Ответ:

Функция f(x) называется бесконечно малой величиной при х, стремящемся к х₀ , если для любого числа , даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число , что для всех Х не равных Х_0, и удовлетворяющие условию

будет верно неравенство

Свойства:

1.Сумма конечного числа бесконечно малых — есть величина бесконечно малая.

2.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную функцию — есть величина бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля , есть величина бесконечно малая.

7. Понятие предела функции. Основные теоремы о пределах.

Ответ:

Число А называется пределом функции f(x) при если для каждого существует такое число , что при условии

Теоремы о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Теорема 2.

(о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Теорема 3.

Предел постоянной равен самой постоянной

Доказательство. f(x)=с, докажем, что

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

Теорема 4.

Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Теорема 5.

Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при Х стремящийся к А ,

то и их частное имеет предел при Х стремящийся А , причем предел частного равен частному пределов.