2.Параметрическое задание функции. Циклоида. Вывод параметрического уравнения циклоиды.

Ответ:

1.11. Параметрическое задание функции

Пусть даны два уравнения где φ, ψ – однозначные функции, определенные на отрезке [t1, t2]

Значению t [t1, t2] будут соответствовать значения x, y, при этом на координатной плоскости Oxy мы получим точку P(x, y). Когда t изменится от t1 до t2, точка P на координатной плоскости Oxy опишет некоторую кривую.

Определение 2. Уравнения (5) называются параметрическими уравнениями кривой, число t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (5) называется параметрическим.

Если функция x = φ(t) имеет обратную функцию t = Ф(x), то y является функцией от x: y=φ(Ф(x)) или y = f (x).

Определение 3. Задание функции y = f (x) при помощи уравнений (5) называется параметрическим заданием функции.

Если функция x = φ(t) не имеет обратной функции, то, исключая параметр t из уравнений (5), мы получим неявную функцию F(x, y).

Циклоида.

Цикло́ида— плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса , катящейся без скольжения по прямой

Вывод параметрического уравнения циклоиды.

Параметрическое уравнение окружности:

x = R sin(t)

y = R cos(t)

параметрическое уравнение прямой (горизонтальной):

x = k*t

y = const

причем в нашем случае, y = R, тк центр окружности должен быть поднят на R над осью Ox

а k должен быть равен периметру окружности (2*Pi*R) при прохождении окружностью полного цикла ( 2*Pi). делим одно на другое и получаем k = R. то есть уравнение прямой получилось:

x = R*t

y = R

теперь с окружностью, В нашем случае она должна крутиться по часовой стрелке, а не против, то есть :

x = -R sin(t)

y = -R cos(t)

складываем эти согласованные уравнения и получаем

x = R*t- R sin(t)

y = R - R cos(t)

параметрическое уравнение циклоиды

3.Понятие приращения функции , монотонность функции. Понятие функции ограниченной, четной, нечетной, периодической.

Ответ:

Приращение функции – разность между двумя значениями функции.

1. Функция одной переменной. Пусть задана функция у = f(x), определенная при значении аргумента, равном х0. Дадим аргументу приращение Dх, т.е. рассмотрим значение аргумента, равное x0 + Dх. Предположим, что это значение аргумента также входит в область определения данной функции. Тогда разность

Dy = f(x0 + Dх) – f(x0) называется приращением функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Одним словом определяет области возрастания и убывания функции

Ограниченная функция.

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

Понятие четной и нечетной функции.

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента

Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).

Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).

Периодическая функция-функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство

Все тригонометрические функции являются периодическими.