16. Основное матричное уравнение фирмы.

Подставляя систему функции спроса и присоединяя к ней выражение для функции предложения , получим тождественную систему из уравнения с параметром: (1)

Т.к. чувствительность оптимальных затрат и выпуска по ценам оценивается величинами то систему (1) дифференцируем по переменным

Введем обозначения:

Продифференцировав обе части системы (1) по цене получим:

Применяя обозначение матрицы Гессе: последняя система перепишется в виде:

Продифференцируем теперь систему (1) по переменной , получим:

или в векторной форме:

, где единичная матрица

В матричной форме (2) и (3) имеют следующий вид соответственно:

где – мерный вектор–столбец с нулевыми коэффициентами.

Объединяя уравнения (3) и (4) в одно, получим основное матричное уравнение фирмы (теории производства):

Эта система из уравнений с неизвестными показателями сравнительной статистики. Разрешая ее относительно показателей сравнительной статистики, перепишем:

Выполним матричное умножение в последнем уравнении и найдем решение. Запишем его в векторной форме:

,

,

17 Анализ основного матричного уравнения фирмы

Опр: Затраты вида j называются нормальными, если ценными(малоценными)- Затраты i и j называются взаимозаменяемыми (взаимодополняемыми), если

Анализируя матричное уравнение теории производства можно сделать следующие выводы относительно чувствительности затрат и выпуска по ценам:

1. повышение цены на выпускаемый продукт всегда приводит к увеличению объема выпуска;

2. повышение цены на выпускаемый продукт влечет повышение спроса на некоторые виды затрат;

3. в рамках закона об убывающей доходности нельзя обходиться исключительно малоценными затратами;

4. повышение платы за малоценные ресурсы ведет к увеличению объема выпуска;

5. повышение платы за некоторый вид затрат приводит к увеличению объема выпуска;

6. повышение цен на затраты приводит к сокращению спроса на них;

7. чувствительность объема затрат j — го вида на изменение цен затрат i — го вида такая же, что и чувствительность объема затрат i — го вида на изменение цен затрат j — го вида;

8. для взаимозаменяемых затрат повышение (понижение) цены одной из них влечет увеличение (уменьшение) спроса на другую;

9. для взаимодополняющих друг друга затрат повышение (понижение) цены одной из них влечет уменьшение (увеличение) спроса на другую.

Первый вывод следует из неравенства (32)

которое вытекает из с учетом отрицательности матрицы Гессе и неотрицательности предельного продукта (df/dx_j) в особой области. Данное неравенство подтверждает факт о том что кривая предложения продукта является возрастающей.

Нер-во (32) с учетом

перепишется как , которое вып-ся в случае, если для нек. j имеет место (34) - обоснование второго вывода. также получаем (35)

Пункт 2). можно уточнить так: повышение цены выпускаемой продукции приводит к повышению спроса на затраты j — го вида всегда, если увеличение платы за этот вид затрат приводит к сокращению объема выпуска. Действительно с учетом (35) неравенство (34) влечет за собой неравенство df*/dw_j < 0. В частности, если x_j - малоценные затраты, то увеличение цены w_j приведет к увеличению выпуска (т.е. df*/dw_j > 0), т.е. верно 4). 3) также следует из (35)

Поэтому в особой области для некоторых видов затрат выполнено неравенство df* /dw_j < 0, т.е. верно 5).

Вывод 6). следует из , т.к. матрица симметрична причем, как и правая часть этого уравнения, она отрицательно определена. Поэтому ее диагональные элементы отрицательны: .

Симметричность матрицы означает, что , верно 7).

8) и 9) вытекают непосредственно из определений взаимозаменяемых и взаимодополняемых затрат.