10.Определение, свойства, примеры производственных функций.

Пусть фирма производит n видов продукции. При этом фирма затрачивает m видов ресурсов x_j, j=1;m.

Рассмотрим вектор x=(x₁,…,x_m)- вектор затрат и вектор выпуска y=(y₁,…,y_n). Тогда положительные актанты вида и

называются пространством затрат и пространством выпуска соответственно.

Опр. Любая функция вида f: R^m₊->Rⁿ₊, которая ставит любому вектору x вектор максимального выпуска y=f(x), который может быть получен при данных затратах называется производственной функцией.

Если фирма выпускает один вид продукции, то производственная функция называется скалярной.

Если в качестве независимой переменной выступают затраты, то производственная функция называется функцией выпуска, т. е. верно соотношение Если объемы продукции являются фиксированными, то производственная функция называется функцией затрат

Из соотношений (1) и (2) видно, что функции затрат и выпуска – взаимообратные функции.

Свойства.

1. Если x₁>x₂, то f(x₁)> f(x₂). Следствие. При неизменных количествах других видов также наблюдается рост выпуска, с ростом затрат.

2. Без затрат нет выпуска, т. е. f(0,0)=0: a) f(0, x₂)=0, b) f(x_1,0)=0.

3. Если производственная функция дифференцируема по всем своим переменным, то , т.е. увеличение одного вида затрат не приводит к увеличению выпуска. -называется предельным продуктом.

4. Пусть x>0, тогда , т. е. с ростом затрат одного j-ого ресурса, при неизменных количествах других, величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу j-ого ресурса не растет(Закон убывающей отдачи).

5. Производственная функция является однородной некоторой степени α, т. е. f(λx)= λ^αf(x). (3), где парам λ>0-масштаб производства. Если λ>1, то производство является расширяющимся, если λ<1, то сужающимся. α-показывает эффект от изменения.

Если α>1, то одновременное увеличение всех факторов производства(затрат) приводит к возрастанию выпуска в λ^α раз. Если f(λx)= λf(x), то такие произв. Функции называются линейными.

Примеры.

1. Производственная функция Кобба-Дугласа.

где объем выпуска, затраты капитала, затраты рабочей силы, >0-масштаб производства. Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа вводят специальный множитель , где t-показатель времени, v-постоянное число, которое характеризует темп развития. Тогда

2. Линейная ПФ. y=f(x₁,x₂)=a₁x₁+a₂x₂, где норма затрат го вида для производства одной единицы продукции.

3. Производственная функция с постоянной элястичностью замещения.

4. Производственная функция с фиксированными пропорциями. Эта функция получается из (4) при

(5)

5. Производственная функция затрат - выпуска (Леонтьева) получается из (5) при

11. Эластичность в теории производства.

Рассм. эластичность пр-ва E_λ(f(x)), кот. явл. локальным показателем измерения дохода от расширения масштаба пр-ва. Локальным показателем в силу того, что в одних точках пр-ва затрат производственная ф-ция может хар-ться постоянным доходом от расширения масштаба пр-ва, а в др. – увеличением или уменьшением. Формально данную эластичность можно записать в виде (по опр. эластичности):

Но это соотношение не отражает изменения масштаба пр-ва в точке х. Поэтому формула данной эластичности имеет вид:

или (1)

Предпочтение отдается пр-ву с большей эластичностью, т.к. увеличивать затраты имеет смысл, если только это приводит к увеличению выпуска. Но объективность оценки эластичности пр-ва зависит от того, насколько адекватно производственная ф-ция, как модель, отражает взаимосвязь затрат с выпуском.

Для практич. анализа пр-ва также применяется эластичность выпуска по видам ресурсов как величина, хар-щая процент прироста продукции при увеличении затрат на 1%.

, j=1,m. (2)

Теорема: Эластичность пр-ва, описываемого диф-мой лин.-однородной ф-цией, в любой точке пространства затрат равна сумме эластичностей выпуска по всем видам затрат, т.е.

Док-во. Дифференц. по λ обе части рав-ва f(λx)= f(λx₁,…, λx_m) по правилам сложной ф-ции получим:

Подставим данное рав-во в (1), получим:

Для произвольной ф-ции y=f(x₁,…,x_m), можно также посчит. предельнау норму замещения i-го ресурса j-ым: (3)

Из (2),(3) вытекает взаимосвязь между эластичностью и предельной нормой замещения: для любых i, j:

Отсюда вывод: для тех ресурсов, по кот. выпуск неэластичен (E_xi(f(x))=0) нет смысла говорить о предельной норме замещения ими др. ресурсов.