32.Луч Неймана. Существование равновесия модели Неймана

Опр. Луч вида где – участок в невырожденном положении равновесия, называется лучом Неймана.

Опр. Модель Неймана является продуктивной, если система неравенств имеет решение при любом неотрицательном векторе .

Теорема. В модели Неймана существует невырожденное положение равновесия, при этом, конечное число темпов роста не превосходит причем минимальный темп роста будет положительным в том и только том случае, когда модель Неймана продуктивна. Доказательство. Так как в определении положения равновесия длина векторов несущественна, то для доказательства будем рассматривать вектора единичной длинны. Рассмотрим ЗЛП вида: (1)

Где - вектора с единичными координатами, - числовой параметр. Обозначим через Z множество вида замкнуто и ограничено. Тогда оптимальное значение целевой функции задачи (1) при любом фиксированном равно

Так как функции непрерывны по то по свойствам максимума и минимума функций , что -непрерывна.

Пусть , тогда .

Пусть -вторая компонента оптимального плана задачи (1) при . Тогда исходя из основных ограничений задачи (1) имеем откуда .

Покажем, что . От противного, пусть , т.е.

т.е. . Однако в матрице нет

Нулевых столбцов и последнее равенство не верно.

Покажем, что монотонно возрастает, причем

при . Монотонное возрастание из (2)

и (3), а также, что Возьмем вектор с

координатами . Очевидно, что Тогда:

Т.к. в каждой строке матрицы есть хотя бы один ненулевой элемент, то откуда и , что при . Таким образом исходя из свойств функции получаем, что существует такое число , что . Обозначим . Рассмотрим двойственную задачу к (1), где в качестве двойственных переменных выступает вектор цен :

Исходя из теории двойственности, имеем . Соответствующее решение задачи (4) обозначим

Так как являются планами задач (1) и (4) соответственно, то получаем, что

Обозначив , тогда из (5) и определения динамического равновесия тройка величин есть положение равновесия модели Неймана.

33. Оптимальная траектория. Понятие магистрали. Теорема Моришимы о магистрали.

Рассм. дискретн. оптимиз. модель вида (1), (2), М-ца - матр. затрат, – матр. выпусков. m –число товаров, n – число технолог. процессов. – n-мерный вектор интенсивностей технолог. процессов в период вр. Тогда вектор x(t)=Az(t) – вектор затрат в период y(t-1)=Bz(t-1) – вектор выпуска в пред. период. Тогда нер-во (2) показ., как и ранее затраты в послед. период не должны превышать выпуска в пред. период. Соотн. (3) накладывает огр. на интенсивности выпуска. -мин. интенсивность технолог. процессов в момент вр. t, т.е. она показ. мин. ко-во товара, необх. для покрытия всех затрат в момент вр. t. - макс. возм. кол-во прибыли, кот. может получить произв. в момент вр. t. Пусть p=(t*)-вектор цен на прод. в конце послед. планового периода (t*-1,t*]. Тогда если c^T=p^TB, то целевой критерий показывает доход от реализ. прод., произв. в посл. план. периоде. Если же через c^T=p^T(t*)B- p^T(t*-1)A, то целевая ф-ция (1) показывает размер прибыли, получ. в послед. плановом периоде, Bz(0)=y₀ – начальный запас товара в пр-ве. Опр. Посл-ть вида {z(t)}₀^t* , кот. удовл. соотн. (2)-(3) наз-ся планом или траекторией интенсивности. Данная траектория наз-ся оптимальной, если она доставляет максимум целевого критерия (1). Приведем задачу (1)-(3) к канонич. виду. Для это введем свободное переменное в ограничение (2), получим

(4)

(5), где показ. кол-ва неисп. товаров в период вр.(t-1,t], либо товары в произв. периоде .(t-2,t-1]. Недостатки модели (1)-(5): не учитывается переход неисп. прод. из одного периода в след., т.е. в этой модели отсутств. накопление неисп. товара и как сл-е непонятно, куда идет неисп. пр-я. Задачу (1)-(5) наз. термальной задачей.

Замечание. Если рассм. задача оптимизации либо прибыли в теч. всего произв. периода, то целевая ф-ция (1) предст. в виде . Понятие магистрали. Упростим модель (1)-(5), а именно предположим, что все интенсивности z(t)>=0, . Ранее делалось предположение, что интенсивности растут одинаковыми темпами, тогда по т. о сущ. невырожд. положения равновесия оптим. траектории задачи (1)-(5) сущ. Пусть z⁽⁰⁾-вектор, опред. луч Неймана. {z: z=βz⁰,β≥0} и он не явл-ся единств. На практике единое усл-е не всегда вып-ся . Введем в-ну ,x⁽ⁱ⁾ R^m, x⁽ⁱ⁾≠0, i=1,2, кот. наз-ся квазиметрикой и удовл. след. св-вам:

1) Данная величина в том случае, когда вектора и идут вдоль одного и того же луча.2)

3) Если то

Графич. интерпретац. квазиметрики. Квазиметрика предст. собой угловое расст между векторами и и в свою очередь является длиной хорды KL.

x_{2 K x}⁽²⁾ _x⁽¹⁾

^L x₁

Опр. Луч z⁽⁰⁾ наз-ся магистралью, если сущ. такие знач. t₁( и t₂( что всякая оптим. траектория {z(t)}₀^t* удовл. усл-ю

Из этого опр-я =>если в модели Неймана сущ. невырожд. отн-е равновесия, то все оптим. траектории группируются около луча Неймана, т.о. зная луч Неймана можно сделать вывод об оптимальности траекторий. Рассм. (6), z(t)≥0, - аналог дин. модели Леонтьева.

Теорема Моришимы. Если z(0)>0, c>0, матрица затрат А явл-ся неразложимой и примитивной, то вектор Фробениуса z⁽⁰⁾ матрицы А явл-ся магистралью для задачи (6). Задача (6) явл-ся аналогом дин. модели Леонтьева, где под интенсивностью понимается выпуск прод., где z⁽⁰⁾ нач. запас товаров, а м-ца А им. размерность .