Формула Лапласа
Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Этим объясняется существование мыльных пузырей: плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки. Добавочное давление в точке поверхности зависит от средней кривизны в этой точке и даётся формулой Лапласа:
Здесь
—
радиусы главных
кривизн в точке. Они имеют
одинаковый знак, если соответствующие
центры кривизны лежат по одну сторону
от касательной
плоскости в точке, и разный
знак — если по разную сторону.
Например, для сферы центры кривизны в
любой точке поверхности совпадают с
центром сферы, поэтому
Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса имеем
Обратите
внимание, что
должно
быть непрерывной функцией на поверхности
плёнки, так что выбор «положительной»
стороны плёнки в одной точке локально
однозначно задаёт положительную сторону
поверхности в достаточно близких её
точках.
Из формулы Лапласа следует, что свободная мыльная плёнка, натянутая на рамку произвольной формы и не образующая пузырей, будет иметь среднюю кривизну, равную 0.
КАПИЛЛЯРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ физ. явления, обусловленные поверхностным натяжением на границе раздела несмешивающихся сред.