31. Выборочный метод. Точечное оценивание.

Оценка неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называют точечной: = .

Выборочная доля является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , дисперсия которой для повторной выборки равна: , а для бесповторной:

Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , дисперсия которой для повторной выборки рана: , а для бесповторной: .

Выборочная дисперсия повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии , так как .

Не смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия .

32. Интервальное оценивание. Формула доверительной вероятности для большой и малой выборок.

Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал , который с заданной вероятностью накрывает неизвестной значение параметра . Такой интервал называют доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Наиболее часто доверительный интервал выбирают симметричным относительно параметра : , где наибольшее отклонение оценки от параметра генеральной совокупности , возможное с вероятностью и называется предельной ошибкой выборки.

При заданной доверительной вероятности и большом объемы выборке, ее предельная ошибка оценки генеральной средней и генеральной доли равна -кратной величине средней квадратической ошибки или средним квадратическим отклонениям выборочной средней и выборочной доли : и , , где -функция (интеграл вероятностей) Лапласа.

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли равны: ; , где и в зависимости от типа отбора (повторный или бесповторный) определяем по формулам:

• Для повторного отбора:

и ;

• Для бесповторного отбора:

и .

33. Несмещенные оценки для генерального среднего и генеральной дисперсии. Расчет доверительного интервала и объема выборки (при повторном и бесповторном отборах).

Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней , дисперсия которой для повторной выборки рана: , а для бесповторной: .

Для определения необходимого объема выборки необходимо задать надежность (доверительную вероятность) оценки и точность (предельную ошибку выборки) . В этом случае необходимый объем выборки для оценки генеральной средней для повторного отбора находим по формуле: , и для бесповторного отбора: .

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли равны: ; , где и в зависимости от типа отбора (повторный или бесповторный) определяем по формулам:

• Для повторного отбора:

и ;

• Для бесповторного отбора:

и .

34. Статистическая проверка гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода при проверки гипотез. Уровень значимости, критическая область. Критерии согласия и его мощность.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой . Наряду с нулевой гипотезой рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу , являющуюся логическим отрицанием .

Правило, по которому принимается или отвергается , называется статистическим критерием.

Вероятность отвергнуть гипотезу , при том, что она верна (т.е. принять гипотезу Н1), называется ошибкой 1 рода или уровнем значимости и обозначается α: P{H1/H0}=α.

Величина 1-α равна вероятности принять верную гипотезу и называется уровнем доверия: P{H0/H0}=1-α=γ.

Вероятность принять основную гипотезу, если она неверна, называется ошибкой 2 рода и обозначается β: P{H0/H1}=β.

Вероятность принять гипотезу Н1, если она верна, называется мощностью критерия: P{H1/H1}=1-β.

Область допустимых значений (область принятия гипотезы );

Критическая область (область отбрасывания гипотезы ). Она может быть:

• Правосторонняя, выбирается из соотношения: ;

• Левосторонняя: ;

• Двухсторонняя: .

Одной из главных задач математической статистики является установление истинного закона распределения СВ на основании экспериментальных данных. На практике о виде закона распределения можно судить по графику выборочной плотности распределения вероятностей. Параметры закона распределения обычно неизвестны и их заменяют на выборочные значения. В соответствии с этим критерием, устанавливающие закон распределения, называются критериями согласия.