7. 2. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Нехай функція у = f(х) визначена на відрізку [а; b], а < b (рис. 7. 1). Розіб'ємо [а; b] на n елементарних відрізків точками х₁, х₂, ..., х_n-1. На кожному відрізку розбиття виберемо довільну точку  [ x_i-1; х_i ] та обчислимо f( ). Площа і-го прямокутника: S_і = f( )х_i, де х_i = х_i - x_i-1 .

Площа східчастої фігури називається інтегральною сумою.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої у = f(х), у = 0, х = а, х = b:

Рис. 7. 1

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при максимальному відрізку розбиття, прямуючому до нуля, незалежна від способу розбиття та вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції f(х) на відрізку [а; b] і позначається :

= .

а, b - нижня та верхня межі інтегрування.

2. Властивості визначеного інтеграла:

= ; =  ; = 0; = - ; Якщо с  [а; b] , то = ;

Якщо  х є [а; b] f(x)  g(x), то  ;

Якщо m та М - найменше та найбільше значення f(х) на [а; b], то

m(b – a)   М(b - а) (див. рис. 7. 2);

8) Якщо f(х) неперервна на [а; b], то знайдеться така точка с  [а; b], що

= f(с)(b – a)

3. Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона - Лейбніца

Нехай функція у = f(х) неперервна на відрізку [а; b], тоді вона інтегрована на кожному відрізку [а; х]  [а; b] ( х  [а; b] ), тобто  = Ф(х) - інтеграл із змінною верхньою межею (t  х).

Теорема 7.4 Похідна визначеного інтеграла із змінною верхньою межею по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі:

Ф(х) = ( ) = f(x).

Наслідок: Ф(х) - одна з первісних функції f(х).

Теорема 7.5 Якщо F(х) є якою-небудь первісною неперервної функції f(х), х  [а; b], то справедлива формула Ньютона – Лейбніца:

= F(b) – F(a).

4. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Якщо функції u = u(х) та v = v(x) мають на [а; b] неперервні похідні, то

= -

5. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Теорема 7.6 Нехай задано , де f(х) неперервна на [а; b] . Введемо

нову змінну х =  (t), t  [; ]. Якщо:

 () = a,  () = b;

 (t),  (t) неперервні на [; ];

3) f( (t)) визначена та неперервна на [; ], то

=

6. Застосування визначеного інтеграла

6.1 Обчислення площі криволінійної трапеції

Геометричний зміст визначеного інтеграла - це площа криволінійної трапеції S, обмеженої у = f(х), у = 0, х = а, х = b. Якщо функція змінює свій знак на відрізку [а; b], то S = .

6.2 Обчислення довжини дуги кривої

Обчислення довжини дуги l кривої у = f(х) від точки х₁ = а до х₂ = b здійснюється за формулою .

6.3 Обчислення об`єму тіл обертання

При обертанні криволінійної трапеції навколо однієї з осей координат, утворюється просторова фігура, яка називається тілом обертання. Нехай криволінійна трапеція, що обмежена графіком функції у = f(х), у = 0, х = а, х = b, обертається навколо осі ОХ (рис. 7. 4).

Розіб`ємо відрізок [а; b] на n елементарних відрізків точками х<sub>і</sub> (1 і  n, х<sub>n</sub> = b). Проведем дві площини перпендикулярно до осі ОХ через точки х<sub>і-1</sub> та х<sub>і</sub>. Позначимо х<sub>і</sub> - х<sub>і-1</sub> = х<sub>і</sub>. Оберем довільну точку  [ x<sub>i-1</sub>; х<sub>i</sub> ] та обчислимо f( ). При х<sub>і</sub>  0 утворену між перерізами фігуру можна вважати циліндром з висотою х<sub>і</sub> та основою – колом з радіусом f( ). Площа основи буде дорівнювати  . Отже, об`єм елементарного циліндра дорівнює х_і . Об`єм усього тіла обертання (V) наближено дорівнює сумі об`ємів елементарних циліндрів - це інтегральна сума, тому переходячи до границі при n   (або maxх_і  0) одержимо або .

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ