
- •1. 2. 1 Короткі теоретичні відомості
- •1. 3. 1 Короткі теоретичні відомості
- •2. 1. 1 Короткі теоретичні відомості
- •2. 2. 1 Короткі теоретичні відомості
- •3. 1. 1 Короткі теоретичні відомості
- •3. 2. 1 Короткі теоретичні відомості
- •4.1 Границі числової послідовності та функції
- •4.1.1. Короткі теоретичні відомості
- •4.2.1. Короткі теоретичні відомості
- •4.3.1. Короткі теоретичні відомості
- •5. 1 Поняття функції кількох змінних, її область визначення, границя, неперервність
- •5. 1. 1 Короткі теоретичні відомості
- •5. 2. 1 Короткі теоретичні відомості
- •5. 4. 1. Короткі теоретичні відомості
- •7. 1 Невизначені інтеграли
- •7. 1. 1 Короткі теоретичні відомості
- •7. 2. 1 Короткі теоретичні відомості
- •8. 1 Короткі теоретичні відомості
5. 1 Поняття функції кількох змінних, її область визначення, границя, неперервність
5. 1. 1 Короткі теоретичні відомості
1. Змінна величина u, що залежить від n незалежних змінних х1, х2, ..., хn називається функцією n змінних. Окремим випадком є функція двох змінних z = z(х, у).
2. Сукупність усіх числових значень, що набувають змінні х1, х2, ..., хn , при яких функція u набуває певних дійсних значень, називається областю визначення функції u = u(х1, х2, ..., хn) і позначається D (рис. 5.1).
3.
Околом
радіуса r т.
М0(х0,
у0)
називається сукупність усіх точок
М(х,у),
що задовольняють нерівності
(рис. 5.2)
4.
Число А
називається границею
функції z
= z(х, у) при М(х,у)
М0(х0,
у0),
якщо
> 0 знайдеться таке r
> 0, що для будь-якої М(х,
у) з r -
околу точки М0(х0,
у0)
виконується нерівність
.
Позначається
5.
Нехай точка М0(х0,
у0)
D(z(х,у)).
Функція z = z(х,у)
називається неперервною
в точці
М0(х0,
у0),
якщо
,
незалежно від способу прямування М(х,у)
М0(х0,
у0).
6. Функція, неперервна в будь-якій точці деякої області, називається неперервною в цій області.
7. Властивості неперервних функцій в замкненій області:
1) області визначення D та неперервності збігаються;
2) неперервна функція обмежена
2 Частинні похідні функції кількох змінних. Повний диференціал
5. 2. 1 Короткі теоретичні відомості
1. Розглянемо функцію двох змінних z = z(х, у). Нехай її аргументи х0 та у0 набули приросту х та у: х = х0 + х , у = у0 + у Отже, приріст аргументів функції z = z(х, у): х = х - х0, у = у – у0.
Тоді повним приростом функції буде:
z = z(х,у) - z(х0,у0) = z( x0+х , y0+у ) - z(x0,y0).
Якщо надати приросту тільки одній змінній, а другу залишити сталою, то функція набуде частинних приростів:
x z = z( x0+х , y0) - z(x0,y0) - частинний приріст функції по змінній х;
у z = z( x0, y0+у ) - z(x0,y0) - частинний приріст функції по змінній у.
2.
Якщо існує
,
то вона називається частинною
похідною функції z
= z(х,у) по змінній х.
Позначається :
.
Аналогічно
=
.
Обчислюються частинні похідні по змінній хі за допомогою правил диференціювання та таблиці похідних, вважаючи хі змінною, а решту змінних - сталими величинами.
3. Нехай z = z(х, у) визначена в деякому околі точки М(х, у), тоді функція z = z(х, у) називається диференційованою в точці М, якщо її повний приріст z можна подати у вигляді: z = А х + В у + х + у,
де А, В - дійсні числа, що не залежать від х, у;
, - нескінченно малі, тобто , 0 при х, у 0.
Знайдемо
сталі А, В.
Для цього розглянемо окремий випадок,
коли у
= 0. Повний приріст z
стає частинним х
z
х
z
= А х
+
х,
цей вираз розділимо на х
та знайдемо границю при х
0
=
= А,
А =
.
Аналогічно В
=
.
4. Повним диференціалом функції z = z(х, у) називається головна лінійна частина повного приросту функції: dz = А х + В у; х dx; у dy
dz
=
dх +
dу.
5.
Частинні похідні першого порядку
та
є також функціями змінних х
та у.
Їх можна знову продиференціювати по
кожній змінній:
,
,
причому для мішаної похідної виконується
властивість:
,
тобто значення мішаної похідної не
залежить від порядку диференціювання.
6. Частинною похідною n-го порядку називається перша похідна від похідної (n-1) порядку.
Безумовний екстремум функції кількох змінних.
Найбільше та найменше значення функції у замкненій області