4.2.1. Короткі теоретичні відомості

1. Функція у = f (x), визначена в точці х₀ і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці х_о, якщо  .

Іншими словами, якщо х  х₀ , тобто (х - х₀)  0, то , тобто

( - )  0

х - х₀ = x - називається приростом аргументу;

f(x) - f(x₀) = f(x₀ + x) - f(x₀) = у - приріст функції, отже означення неперервної функції можна дати по-іншому:

Функція у = f (x), визначена в точці х₀ і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці х₀, якщо х та у в цій точці є нескінченно малими величинами (тобто нескінченно малому приросту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції).

2. Якщо функція неперервна в  точці деякого інтервала, то вона називається неперервною в інтервалі.

3. Умови неперервності:

Функція у = f (x) буде неперервною в точці х₀ тоді і тільки тоді, коли вона визначена в деякому околі точки х₀ і виконується:

Якщо хоча б одна рівність не виконується, то х₀ - точка розриву.

1) - розрив 1 роду усувний або ліквідовний.

2) , обидві границі скінченні - розрив 1 роду, стрибок;

величина стрибка  = | |

3) , причому хоча б одна з границь не існує або нескінченна, - розрив 2 роду.

Надалі будемо використовувати такі умовні позначення:

- 0 – від`ємна нескінченно мала;

+ 0 – додатна нескінченно мала;

-  - від`ємна нескінченно велика;

+  - додатна нескінченно велика;

а – 0 – число, що менше за а на нескінченно малу;

а + 0 – число, що більше за а на нескінченно малу.

Диференціальне числення функції однієї змінної

4.3.1. Короткі теоретичні відомості

Однією з основних характеристик функції є її похідна в певній точці. Найбільш наочне уявлення про зміст похідної дає її геометрична інтерпретація. Тому розглянемо задачу про дотичну до кривої.

1. Дотичною до кривої у = f(x) в точці М(х; у) називається граничне положення січної ММ₁, коли точка М₁, рухаючись по кривій, прямує до точки дотику М.

Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної (рис. 4.18): надамо аргументу х приросту х, відповідний йому приріст функції у буде у, тоді координати точки М₁ (х + х; у +у).

З MM₁A: .

Якщо х 0, точка М₁ М, січна повертається навколо точки М і намагається зайняти положення дотичної, а кут . Тангенс кута нахилу дотичної до кривої в точці М і є похідною функції у цій точці.

2. Похідною функції у = f(x) по аргументу х називають границю відношення приросту функції до прироста аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля:

.

Похідна функції може позначатись у такий спосіб: .

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням, а функцію, що має похідну в деякій точці, називають диференційовною в цій точці.

3. Теорема (зв'язок між неперервністю та диференційовністю)

Якщо функція у = f (x) диференційовнана в деякій точці х₀, то вона в цій точці неперервна.

Обернене твердження не справедливо: не кожна неперервна в точці функція буде диференційовною в цій точці.

4. Правила диференціювання:

Якщо С – стала, то С' = 0.

Якщо функції u = u(x) та v = v(x) диференційовні в точці х, то їхня алгебраїчна сума, добуток та частка (v(x) 0 ) теж диференційовні в цій точці і справедливі формули:

2.1. (u ± v)' = u' ± v';

2.2. (uv)' = u'v + v'u;

2.3. .

Сталий множник можна виносити за знак похідної: (Cu)' = Cu'.

Диференціювання складеної функції: якщо y = f(u), u = u(x) і функції f та u

диференційовні по своїх аргументах, то y_x' = f_u' u_x'.

Диференціювання обернених функцій: нехай функція у = у(х) має обернену х = х(у), причому обидві функції диференційовні, тоді .

5. Таблиця похідних основних елементарних функцій.

Нехай u = u(x). Тоді

1. (un)' = n un-1 ·u'	8. (tg u)' = ·u'
2. (au)' = au ln a ·u'	9. (ctg u)' = ·u'
3. (eu)' = eu ·u'	10. (arcsin u)' = ·u'
4. (logau)' = logae ·u' = ·u'	11. (arccos u)' = - ·u'
5. (ln u)' = ·u'	12. (arctg u)' = ·u'
6. (sin u)' = cos u ·u'	13. (arcctg u)' = - ·u'
7. (cos u)' = - sin u ·u'

6. Диференціювання функцій, що задані неявно та параметрично.

Неявно задана функція має вигляд F(х; у) = 0. Щоб продиференціювати її, треба взяти похідну по х від обох частин рівності, враховуючи, що у = у(х), і одержане рівняння розв'язати відносно у', у' = у'(х; у).

Параметрично задана функція має вигляд ,   t  , t - параметр.

Її похідна обчислюється за формулою: .

7. Похідні вищих порядків

Нехай на інтервалі (а; b) задана диференційовна функція у = f (х), тоді її похідна f (х) (похідна першого порядку) також є функцією від х. Якщо ця функція диференційовна на (а; b), то її похідна називається похідною другого порядку у і т.д. Похідною n – го порядку функції у називається похідна 1 – го порядку від похідної (n – 1)-го порядку: у⁽ⁿ⁾ = (у^(n-1))' .

8. Правило Лопіталя

Правило, що дає змогу розкривати невизначеності вигляду та за допомогою похідних, сформульовано у наступній теоремі.

Теорема. Нехай функції f(x) та g(x) визначені та диференційовні в околі точки х₀ і в цьому околі = = 0 або = = , причому g'(x)  0. Тоді якщо  , то  , і ці границі рівні між собою.

9. Диференціал та його геометричний зміст

Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно х, частина приросту функції f (х) в цій точці: dy = f  (х) dx.

10. Основні теореми диференціального числення

Теорема Лагранжа

Якщо функція у = f(x), неперервна на відрізку [а; b], диференційовна в інтервалі (а; b), то в середині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка с  (а; b), в який f(b) – f(a) = f `(c) (b-a)

Теорема Ролля

Якщо функція у = f(x), неперервна на відрізку [а; b], диференційовна в інтервалі (а; b) і на кінцях відрізка набуває однакових значень f(a) = f(b), то знайдеться хоча б одна точка с  (а; b), в який f `(c) = 0

11. Функція у = f(x) називається монотонно зростаючою на (а; b), якщо  х₁ < х₂ з інтервалу (a; b)  f(x₁) < f(x₂)

Функція у = f(x) називається монотонно спадною на (а; b), якщо  х₁ < х₂ з інтервалу (a; b)  f(x₁) > f(x₂)

Рис. 4. 11

12. Теорема (необхідна ознака зростання (спадання) функції)

Якщо диференційовна на (а; b) функція зростає (спадає), то f  (х)  0 ( f  (х)  0 )

Теорема (достатня ознака зростання (спадання) функції)

Якщо у = f(x) диференційовна на (а; b) функція і f  (х) > 0 (f  (х) < 0 ) на (а; b), то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

13. Інтервали монотонності функції відділяються один від одного точками, у яких похідна = 0, або не існує. Такі точки називаються критичними точками 1 роду.

14. Функція у = f(x) має екстремум в точці х₀, якщо  такий окіл точки х₀, для всіх х якого виконується нерівність: f(x) < f(x₀) – для максимума і f(x) > f(x₀) - для мінімума (рис. 4. 12).

15. Теорема (достатня умова екстремуму функції)

Нехай функція у = f(x) диференційовна в околі точки x₀, крім можливо самої точки x₀, яка є критичною точкою 1 роду. Тоді якщо

1) f ´(х) > 0  х < х₀ і f ´ (х) < 0  х > х₀, то х₀ є точкою максимума;

2) f ´(х) < 0  х < х₀ і f ´ (х) > 0  х > х₀, то х₀ є точкою мінімума;

3) якщо при переході через точку х₀ похідна не змінює знак, то х₀ не є екстремальною.

16. Крива у = f(x) називається опуклою на (а; b), якщо всі її точки лежать нижче довільної дотичної на цьому інтервалі.

Крива у = f(x) називається вгнутою на (а; b), якщо всі її точки лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі.

Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє її опуклу частину від вгнутої. Отже, в точці перегину дотична перетинає криву (рис. 4. 13).

Рис. 4. 13

Теорема

Нехай функція у = f (x) двічі диференційовна на (а; b), тоді якщо

1) f `` (х) > 0  х  (а; b), то крива вгнута на цьому інтервалі;

2) f `` (х) < 0  х  (а; b), то крива опукла на (а; b).

Інтервали опуклості і вгнутості відділяються один від одного точками, де похідна другого порядку дорівнює 0, або не існує (критичними точками 2 роду).

17. Теорема (достатня умова існування точки перегину)

Нехай функція у = f (x) двічі диференційовна в околі точки х₀, крім можливо самої точки х₀, яка є критичною точкою 2 роду. Тоді якщо при переході через х₀ похідна другого порядку змінює знак, то х₀ є точкою перегину кривої у = f (x).

Пряма l називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до l прямує до нуля, коли точка М, рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність (рис. 4. 14).

Рис. 4. 14

19. Асимптоти бувають вертикальними, горизонтальними та похилими.

Умова існування вертикальної асимптоти х = а : , або , або , тобто функція має розрив 2 роду.

Рівняння похилої асимптоти знаходять у вигляді у = kx + b, де

, а .

Якщо k = 0, то похила асимптота буде горизонтальною. Якщо принаймні одна з границь, що визначають k і b, не існує або дорівнює нескінченості, то похилої асимптоти немає.

20. При проведенні повного дослідження функції та побудові її графіка користуються наступним алгоритмом:

1. знаходять область визначення функції;

2. визначають точки перетину графіка з осями координат;

3. досліджують на парність та періодичність;

4. визначають точки та характер розриву функції;

5. знаходять інтервали монотонності та екстремуми;

6. визначають інтервали опуклості-вгнутості та точки перегину;

7. знаходять рівняння асимптот;

8. за даними дослідження будують графік функції.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ