4.1.1. Короткі теоретичні відомості

Умовні позначення:  - для всіх, кожний, будь-який;  - існує.

1. Величиною називається все те, що можна охарактеризувати числовим значенням та виразити в певних одиницях виміру.

2. Величина, числове значення якої при умовах, що розглядаються, не змінюється, називається сталою, набуває різних значень - змінною.

3. Змінна величина х називається нескінченно малою величиною, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого числа   0 : х|  .

Позначення: х  0 або lim х = 0

4. Змінна величина х називається нескінченно великою величиною, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого х| стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого числа М > 0 : |х| > М.

Позначення: х   або lim х = 

5. Зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими обернений: нехай  - нескінченно мала, а  - нескінченно велика, тоді  = 1/ .

6. Властивості нескінченно малих та нескінченно великих величин:

1) Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

2) Добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Наслідки:

1) Добуток нескінченно малої на сталу величину є величина нескінченно мала.

2) Добуток скінченої кількості нескінченно малих є величина нескінченно мала.

Аналогічні властивості для нескінченно великих, за винятком різниці нескінченно великих.

7. Якщо  nN за певним правилом ставиться у відповідність число х_n , то множину {х₁, х₂, ... , х_n , ...} називають числовою послідовністю і позначають {х_n, n  1}.

8. Стала величина а називається границею числової послідовності {х_n, n  1}, якщо    0, наперед заданого, як завгодно малого  такий номер N = N(), що  n > N виконується нерівність: |х_n- а|  .

Це означає, що інтервал (а -  ; а + ) містить всі члени числової послідовності, починаючи з деякого номера. Чим менше ми оберем , тим пізніше почне виконуватись зазначена властивість (рис. 4. 1).

рис. 4. 1

Позначення: .

9. Послідовність, що має скінченну границю, називається збіжною, в інших випадках - розбіжною.

10. Якщо  х  X за певним правилом поставлене у відповідність певне дійсне число у У ,то кажуть, що у є функцією від х : y = f (x)

11. Нехай функція y = f (x) визначена в деякому околі точки х₀ (крім можливо самої точки х₀). Число А називається границею функції в точці х₀, якщо    0, наперед заданого, як завгодно малого  число  =  () > 0 таке, що  х : |х - x₀| <  виконується нерівність: |f(x) - A| < .

Це означає, що для всіх значень х, які достатньо мало відрізняються від числа x₀, відповідні значення функції f(x) як завгодно мало відрізняються від числа A.

Позначення:

рис. 4.3

12. При х   число А називається границею функції на нескінченності, якщо для всіх достатньо великих значень х відповідні значення функції f(x) як завгодно мало відрізняються від числа А.

13. У наведених означеннях границь вважалось, що х  х₀ довільним способом, але можливі випадки, коли х  х₀, залишаючись зліва від х₀ (тобто х < х₀), або справа від х₀ (тобто х > х₀). Такі границі називають односторонніми і позначають:

- лівостороння границя;

- правостороння границя.

14. Теорема. Якщо кожна з функцій f(x) та g(x) має скінченну границю в точці х₀, то в цій точці  також границі функцій f(x) ± g(x); f(x)g(x) та f(x) / g(x) (якщо границя g(x)  0) і справедливі формули:

;

;

.

Наслідки:

с ; [ ]

15. Функції ₁(х) та ₂(х), нескінченно малі при х  х₀, називаються еквівалентними, якщо . Позначення: ₁(х) ~ ₂(х)

16. Теорема Нехай ₁(х) ~ ₁´(х), ₂(х) ~ ₂´(х), при х  х₀. Якщо  , то  і ці границі рівні між собою.

17. Еквівалентними нескінченно малими при х  0 є наступні функції:

sin х ~ х,	arctg х ~ х,	- 1 ~ х,
arcsin х ~ х,	1- cos х ~ ,	ln (1 + х) ~ х,
tg х ~ х ,	- 1 ~ lna	~ nх

18. Чудові границі:

1 чудова границя:

2 чудова границя: , де е – ірраціональне число, яке наближено дорівнює 2.71828…

Друга чудова границя може мати інший вигляд: зробимо заміну 1/х = у, тоді при х  , у  0 і

19. У найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки в f (x) граничного значення аргументу х₀. Але пряма підстановка не завжди призводить до відповіді. Іноді однакові дії з нескінченно малими та нескінченно великими функціями дають різні результати. Наприклад, нехай  - нескінченно мала, a  = ²,  = 2 - теж нескінченно малі, тоді - будуть відповідно нескінченно малою, нескінченно великою та сталою величинами. Аналогічно для нескінченно великих. Така ситуація при знаходженні границь називається невизначеністю.

20. Основними типами невизначеностей є , , , , , , .

В разі, якщо підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеності, слід таким чином перетворити функцію f (x) , щоб позбутись цієї невизначеності. Таке перетворення функції називається розкриттям невизначеності. Методи розкриття невизначеностей залежать від типу функції f (x) та типу невизначеності.

Неперервність функцій