12. Уравнение Клеро и Лагранжа.

5) Частный случай (6)

― уравнение Клеро.

Пример:

Общее решение:

Ответ: .

(парабола касается всех этих прямых).

6) ― уравнение Лагранжа

(частный случай )

― линейное уравнение

13. Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.

― уравнение порядка , разрешенные относительно старшей производной.

Обычно решение ― совокупность функций, зависящих от произвольных постоянных. .

Общее решение: .

Частное решение ― общее с конкретными .

Особое решение ― которое не получается из общего приданием значений константам.

Дополнительные условия:

― начальные условия.

― задача Коши

Теорема: Пусть в некоторой окрестности точки являются непрерывными функции . Тогда в некоторой окрестности точки единственное решение задачи Коши .

Далее ― о частных случаях.

или

1)

Ответ:

2) Предположим, что в (3) , тогда (3) –уравнение в точных производных. – не обязательно решается, но лучше тем, что порядок его на единицу меньше. В общем случае неизвестно, как находить .

3) Пусть в (3) у существует свойство: . . Свойство однородности функции относительно ( – степень однородности). Тогда порядок (3) можно понизить на 1.

Замена: ,

…

- решается не всегда.

4)

.

Проинтегрировав раз, получим решение. Но решение для может быть другим: в неявном виде, параметрическом виде.

5)

(или параметрически). Вместо – .

14. Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.

уравнений с неизвестными. .

Формы записи:

1. Нормальная: (1)

2. Симметричная:

(2)

1. – система уравнений.

Легко переводятся одна в другую:

из (2) в (1):

из (1) в (2): .

Решение – совокупность функций, в этой совокупности присутствуют производных постоянных: .

Константы – одни и те же для любых .

Начальные условия: (3).

((1) или (2)) и (3) – задача Коши.

Теорема: Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны . Тогда в некоторой окрестности решение задачи Коши (1), (3).

Метод исключения.

Пример: ; Подставляем во второе:

Ответ:

После исключения получаем уравнение большего порядка. Не всегда можем исключать функции. Общий случай для этого метода.

. Дифференцируем:

Получим штук равенств, которые связывают Будем исключать Выберем из равенства №1, подставляем во все остальные равенства. Выбираем из равенства №2, подставляем во все остальные. Получаем дифференциальное уравнение -го порядка (будет содержать ).

Определение: интеграл системы (1) – непрерывная дифференцируемая функция , дифференциал которой, вычисленный в силу системы (1), тождественно равен нолю, т. е. [вычисленный в силу системы – значит, что находят из равенств системы (1), т.е. ]=

.

Определение: Первый интеграл системы (1) – соотношение , где – интеграл системы (1), а .

Определение: Интегралы системы (1) – независимые, если .

Определение: Общий интеграл системы (1) – совокупность его первых интегралов , для которых соответствующие интегралы независимы.

Система (1) считается решенной, если найден её общий интеграл. (Общий интеграл – аналог решения в неявном виде.) Общий интеграл удобно находить для систем в симметричной форме, т. к. тогда удобно использовать свойство равных дробей:

Если , то для .