1. Основные понятия и факты связанные с д.У.

Определение: Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка ―уравнение вида в котором ―независимая переменная, ―искомая функция, ―заданная функция.

Кроме обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальное уравнение в частных производных: для функций нескольких переменных. (Для ―обыкновенная производная).

Дифференциальное уравнение -го порядка ― лишь бы была (а все остальное может отсутствовать)

Системы дифференциальных уравнений.

Решить: найти все решения (либо доказать, что их нет).

Решение ― объект, который при подстановке обращает уравнение в истинное

Пусть ―решение дифференциальное уравнение : .

Определение: Решение дифференциального уравнения получено в квадратурах, если оно выражено через элементарные функции посредством конечного числа арифметических операций, операций образования сложной функции и несобственных интегралов, при этом решение может быть функцией, заданной явно, неявно, параметрически, а неопределенные интегралы могут быть неберущимися.

(обычно решить ― решить в квадратурах)

― разные формы записи

. Теперь неизвестна.

Для решения в квадратурах менять ролями переменные в дифференциальных уравнениях можно (получается неявная функция)

Определение: Начальное условие для уравнения ―следующее дополнительное условие для его решения: , где ―заданные числа

2.Существование, единственность и приближенное решение задачи Коши

Определение: Начальное условие для уравнения ―следующее дополнительное условие для его решения: , где ―заданные числа

Определение: и ―задача Коши (решить дифференциальные уравнения с начальными условиями).

Наиболее типично: у задачи Коши единственное решение (но не всегда).

Теорема: Пусть в прямоугольнике является непрерывной функцией .

Пусть , где такое дифференциальное уравнение, что . Тогда по меньшей мере на отрезке единственное решение задачи Коши . [Без доказательства]

формулы для приближенного решения задачи Коши (в общем случае точной формулы не существует):

, где ―такое число, для которого в прямоугольнике П .

.

Пример: не решается в квадратурах (это доказано)

Задача Коши:

3. Д.У., описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и д.Р.)

Задача о радиоактивном распаде.

―время, ―масса вещества.

Задача о гармонических колебаниях

― уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной

4. Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.

5. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.

1. уравнение с разделенными переменными:

2. уравнение с разделяющимися переменными:

(следить за пропажей корней)

3. уравнение вида

―новая функция, зависящая от

4) однородное уравнение:

5) уравнение вида .

единственное решение: ―решение (*)???

.