Вопрос 9. Случайные величины. Типы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.

Функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω, называется случайной величиной. Типы случайных величин: дискретные и непрерывные. Дискретная – если множество ее значений конечно или счетное. Непрерывная – принимающая все значения из некоторого конечного ли бесконечного промежутка.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Х: х₁, х₂, … х_n

P: p₁, p₂,... p_n. Если рас {x=x_i}, i=1...n события несовместны.

P(x=x₁)=p₁

P_n=(x=x_n)=p_n

З акон распределения дискретной случайной величины – соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Способы задания закона распределения: табличный, графический и аналитический.

Табличный: P(X<x₁)=0. P(X<x_n)=P(x=x₁)+P(x=x₂)+...+P(X=x_n-1)=ΣP_i

Графический: многоугольник распределения. В прямоугольной системе координат наносят точки с координатами (x_i,p_i), соседние точки соединены прямыми.

Вопрос 10. Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим схему без возвращений. Пусть имеет N объектов, из них n-браков. N-n – стандартные. Взяли M деталей, из них m браков. M-m – стандартные. N и M – параметры. Рассмотрим x – количество бракованных деталей среди M отобранных. {X=m}, m=0,1...min {M,n}. P_N,n,M(X=m)=(C^m_n*C^M-m_N-n)/C^M_N

Вопрос 11. Геометрическое распределение.

p – параметр. Р(А)=р. Испытании проводят до 1 появления события А. Рас. Х – число проведенных испытаний. {Х=k}, k=1,2... Рас. {x=1} P(x=1)=p =>явление A. {x=2} P(x=2)=qp=>ĀA. {x=k} P(x=k)=q^k-1*p=>Ā.. ĀA.

Закон распределения для него:

X	1	2	3	k
P	p	qp	q2p	qk-1p

Геометрическая прогрессия. b₁=p; q<1; S=b₁/1-q=p/1-q=p/p=1.

Вопрос 12. Биноминальное распределение; параметры, числовые характеристики.

x1=0	x2=1	x3=2
p1=qn	p2=npqn-1	P3=C2np2qn-2

n независимых испытаний. Р(А)=р; n и р – параметры. Рас. X- число появления А в n испытаниях. Рас. {x=k}, k=0,1…n. P_n(X=k)=C^k_n*p^k*q^n-k ; C^k_n -множ. возможность появления или не появления события А.

Вопрос 13. Распределение Пуассона.

n => бесконечность; λ – параметр. np= λ

Пусть x – число появлений события А в n испытаниях. P(x=k)= (λ^k/k!)*e^{- λ}

Вопрос 17. Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины (дискретной и непрерывной). Основные свойства функции распределения. Геометрическая интерпретация.

П усть есть X. Рас. Х и {X<x}; P{X<x}

О пределение: Функция распределения случайной величины х - функция F(x), выражающая для каждого х Р того, что случайная величина х примет значение < x малого. F(x)=P(X<x)

Свойства функции дискретного распределения: 1) 0≤F(x)=1;

2) F(x) – неубывающая функция. Если x₂>x₁, то F(x₂)≥F(x₁).

A={x<x₁} B={x₁≤x≤x₂}; P(A+B)=P(A)+P(B);

P(x<x₂)=P(x<x1)+( x₁≤x≤x₂); F(x₂)≥F(x₁)

3) P(x₁≤x≤x₂) F(x₂)-F(x₁)

4) F(-ω)=lim _x->-ω F(x)=P(x<-ω)=0; F(+ω)=lim _x->+ω F(x)=P(x<+ω)=1

О пределение: случайная величина Х непрерывна, если ее F(x) непрерывна в любой точке и дифференцирована всюду, кроме той области, отдел. точек.

Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины=0. Х – непрер. случ. величина.

P(x=x₁)=lim_x2->x1P(x₁≤x≤x₂)= lim_x2->x1 (F(x₂)-F(x₁))= lim_x2->x1F(x₂)-F(x₁)=F(x₁)-F(x₁)=0.

Следствие P(x₁≤X<x₂)=P(x₁<X<x₂)=P(x₁<X≤x₂)=P(x₁≤x≤x₂)=F(x₂)-F(x₁).