Вопрос 2. Основное правило комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Бином Ньютона.
Комбинаторика – теория конечных множеств. Основное правило – правило умножения: пусть требуется выполнить k действий одно за другим. Если первое действие выполняется n1 способами, второе - n2, k – nk, то все k-действия вместе выполняются n=n1*n2*...*nk.
Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядками элементов, наз. Перестановками этого множества. Pn=n!
Размещением из n-элементов по m-элементов называется любой упорядоченный набор, выбранный из множества n-элементов. A из n по m =C из n по m *m! = n!/(n-m)!
Сочетание – произвольное m-элементное подмножество n-элементного множества.
C из n по m=n!/m!*(n-m)! Свойства: C из n по 1=n; C из n по 0=1.
Биномом Ньютона называют выражение (a+b)n=an+Cn1*an-1*b+Cn2*an-2*b2+...+Cnm*an-m*bm+bn=Σnm=0*Cnm*an-m*bm.
Вопрос 3. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Действия над событиями. Диаграммы Вена.
Случайное событие – событие, которое в результате эксперимента может или произойти или нет. Достоверное событие – которое обязательно произойдет. Ω. Пример: выпадение на монете или герба или решки. Невозможное событие – которое заведомо никогда не произойдет. Θ.
Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате проведения эксперимента хотя бы одно произойдет. Несовместными называются события А и В в случае, если появлении одного из них исключает появление другого. В противном случае они будут совместимыми. Равновозможные события – если в результате эксперимента ни одно из событий не является более возможным. Противоположные события – это два несовместимых события, из которых одно обязательно должно произойти.
И
сход
– элементарное (неразложимое) событие.
Пространством элементарных событий
(Ω) называется совокупность всех
взаимоисключаемых простейших исходов
эксперимента. Ω={w1,w2,...,wn}
Множество исходов опыта образуют Ω,
если: в результате опыта один из исходов
обязательно произойдет (полнота);
появление одного из исходов исключает
появление остальных (несовместимость).
Д
иаграммы
Вена. Суммой двух событий А и В называется
А+В, состоящее из всех исходов, принадлежащих
по крайней мере одному из событий А и
В. Произведением двух событий А и В
называется А*В, состоящее из исходов,
принадлежащих и событию А, и событию В.
Разностью двух событий А и В называется
А-В, состоящее из исходов события А, не
принадлежащих В. Свойства: А+В=В+А; АВ=ВА;
(А+В)С=АС+ВС.
Вопрос 4. Классическое определение вероятности события, свойства вероятности. Статистическое и геометрическое определение вероятности.
Классическое: вероятность случайного события – численная мера объективной возможности его наступления. Условия применения: Ω – конечное, равновозможность исходов. Всего n исходов. Пусть m исходов составляют событие А. Вероятностью события А называется p(A)=m/n. Свойства: А+В=В+А; АВ=ВА; (А+В)С=АС+ВС; законы де Моргана.
Статистическое определение вероятности. Эксперимент проводится n раз. В этой серии m раз появляется А. W(A)=m/n – относительная частота А. n => бесконечность, w(A)=>P(A). Свойства: для всех А, P(A)>0; P(Ω)=1; if AB=θ, то P(A+B)=P(A)+P(B).
Г
еометрическое
определение вероятности: геометрической
вероятность А называется отношение
области, благоприятствующей появлению
события А к мере области D.
Пусть А={попадает точка в d}.
P(A)=Sd/SD