36. Интеграл от фкп его свойства и вычисление.
Пусть в некоторой области D комплексной области C определена однозначная функция
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
l-кусочно-гладкая ориентированная кривая в области D с начальной точкой А и конечной точкой В.
Разобьем l
на n частей(элементарных
дуг) в направлении от точки
Выберем произвольным
образом точку
и составим интегральную сумму.
Если существует
конечный предел последовательности
частичных сумм
И он не зависит от способа разбиения дуги l на элементарные дуги ни от выбора точек на этих дугах, то он называется интегралом функции f(z) по кривой l.
Вычисление интеграла от функции f(z) комплексной переменной z по кривой l сводится к вычислению криволинейных интегралов второго ряда от действительных функций действительных переменных.
Если кривая l занята параметрически то есть задана уравнением z=z(t)=u(t)+iv(t) то последнюю формулу можно записать как:
Свойства интеграла ФКП.
37. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная. Теорема Мореры.
Пусть в односвязной области D задана непрерывная однозначная аналитическая функция f(z) тогда интеграл от функции f(z) по любой замкнутой кривой Г целиком лежащий в области D равен 0 то есть
Следствие: f(z)
аналитическая функция в многосвязной
области D и на её границах
которая состоит из внешнего контура Г
и внутренних контуров
Тогда интеграл по внешнему контуру Г.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть функция
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
аналитическая в некоторой области D,
т.к. для криволинейных интегралов второго
рода стоящих в правой части выполняются
условия
То эти интегралы не
зависят от пути интегрирования, а
следовательно и интеграл
не
зависит от вида кривой l
сюединяющей точки z и
,
а зависит только от z и
Формула выше называется интегралом с переменным верзним пределом.
Теорема Мореры.
Пусть f(z) функция непрерывная в однозначной области D и интеграл не зависит от пути интегрирования по кривой l соденияющей начальную и конечную точки из области D тогда функция f(z) является аналитической в области D, причем F’(z)=f(z) то есть F(z) является первообразной для функции f(z) в области D.
Совокупность всех первообразных для функции f(z) в области D называется неопределенным интегралом от функции f(z) и обозначается
Таким образом
Пусть функция
является первообразной f(z)
в области D
Интегралы от элементарных ФКП вычисляются аналогично соответствующим интегралам от функции действительного переменного.
38. Интегральная формула Коши для односвязной и многосвязной области.
Пусть f(z) аналитична некоторой односвязной аналитической области D и пусть Г это граница этой области.
Тогда :
А интегрирование ведется по контуру Г в положительном направлении. Интеграл правой части последнего равенства называется интегралом Коши, а сама формула называется интегральной формулой Коши.
Эта формула позволяет
находить значение функции f(z)
для любых z
через её значения на границе этой
области. Формула справедлива также и
для многосвязной области. Но в этом
случае обходится так чтобы область D
оставалась слева.
Если f(z) является аналитичной в области D и на её границе Г то для любых
