27. Свойства минимальности коэффициентов Фурье.

Пусть ортогональная система функций на [a;b]

Выражение вида:

Где выражение называется многочленом n-ого порядка где – некоторые действительные числа.

f(x) является интегрируемым квадратом на [a;b]

Выражение называется квадратичное уклонение от многочлена на [a;b].

Коэффициент при котором квадратичное уклонение будет минимальным называется коэффициентом наилучшего приближения многочлена к функции .

Из равенства следует что будет зависеть только от последней суммы и следовательно будет минимальным в том случае если таким образом коэффициентом наилучшего приближения функции f(x) многочлена является коэффициентом Фурье, этой функции f(x) по ортогональной системе функции

В этом и состоит свойство минимальности коэффициента Фурье из свойства минимальности коэффициента Фурье и последней формулы следует :

28. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

Так как то из формулы:

Следует неравенство:

Равенство выше справедливо для любых n.

Левая часть этого равенства возрастает монотонно при возрастании числа n и при этом остается ограниченным числом.

- означает , что является сходящимся и имеет место неравенство:

Неравенство называется неравенством Бесселя.

Из формул выше следует, что величина тогда и только тогда, когда

Равенство выше называется равенством Парсеваля.

Если система является ортонормированной то неравенство Бесселя и равенство Парсеваля преобразуются в:

В частности если f(x) является 2п периодичной то для кэффициента этой функции неравенство Бесселя запишется :

29. Комплексные числа. Формы записи комплексных чисел. Последовательности комплексных чисел.

Опр. Комплексным числом называется число вида , где действительная часть, а мнимая части числа z.

I – мнимая единица.

Формы записи комплексных чисел.

1. Алгебраическая -

2. Тригонометрическая

3. Экспоненциальная

30. Кривые и области на комплексной плоскости.

Опр. Множество точек z в комплексной плоскости C удовлетворяющие неравенству называется открытым кругом радиуса c центром в точке или окрестностью точки .

окресность точки обозначается

Если из исключить точку , то получим проколотую окрестность и обозначается

Комплексная плоскость C дополненная бесконечно-удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью и обозначается символом .

Окрестность называется множеством точек z

То есть окрестность представляет собой внешнюю часть круга радиуса R с центром в начале координат.

Пусть D некоторое множество точек расширенной комплексной плоскости , точка называется внутренней точкой множества D если существует окрестность целиком содержащаяся на множестве D.

Точка называется граничной точкой множества D; Если в любой её окрестности найдутся точки которые как принадлежат множеству D так и не пренадлежат этому множеству.

Совокупность граничных точек множества D образуют его границу которая обозначается Г.

Множество D с присоединенной границей Г называется замкнутым.

Множество D называется открытым если каждая его точка является внутренней точкой этого множества.

Множество D называется связным, если две любые точки этого множества можно соединить непрерывной прямой которая лежит на множестве D.

Открытое связное множество называется областью если граница области состоит из нескольких не пересикающихся частей такая область называется многосвязной.

31. Понятие функции комплексной переменной, её геометрическая интерпретация. Предел и непрерывность ФКП.

Пусть определена в некоторой области D.

Опр.

Если в каждой точке z из области D по некоторому правилу f поставлена в соответствие вполне определенное комплексное число , то говроят что в области D определена однозначная функция , комплексной переменной z.

Если каждой точке z из области D соответствуют несколько значений w то функция , называется многозначной.

Однозначная функция , осуществляет отображение точек комплексной плоскости на соответствующей точке комплексной плоскости образом области D при отображении , в плоскости будет некоторая область w

Опр. Комплексное число A=a+ib называется пределом функции f(z) в точке если для любого так что для любых выполняется неравенства

Опр. A=a+ib в f(z) называется пределом в точке если для любой последовательности где сходящийся к точке соответствует последовательность сходящаяся к числу А.

Опр. f(z) комплексной переменной z определена в некоторой окрестности точки называется непрерывной в этой точке если: