20. Тригонометрические многочлены. Ортогональные системы функций.

Опр.

Тригонометрический многочлен n-ого порядка состоит из n гармоник с разными частотами.

Гармоника называется основной.

Следовательно тригонометрический многочлен имеет период , который составляет период основной гармоники.

Ортогональные системы функций.

Пусть на отрезке [a;b] заданы две функции таким образом , что их произведение является интегрируемой функцией на отрезке [a;b]. Функции Называются ортогональными если

Опр. Система функций = называется ортогональной на [a;b] если для любых n .

Система функций называется ортонормированной на отрезке [a;b]. Если .

21. Тригонометрический ряд Фурье. 2п-периодичных функций.

Тригонометрическим рядом называется, функциональный ряд вида:

= + где – действительные числа называемые коэффициентом ряда.

Пусть функция f(x) является непрерывной периодической функцией с периодом 2п. Предположем, что эта функция разлагается в тригонометрический ряд.

Так как функция имеет период 2п, то её можно рассматривать на любом промежутке 2п. В качестве основного промежутка выбирают отрезок [-п;п]. В некоторых случаях удобно [0;2п]

Предположим, что ряд сходится равномерно на всей числовой прямой следовательно, этот ряд можно почленно интегрировать на отрезке [-п;п].

Теорема Дирихле. Пусть 2п-периодическая функция f(x) на отрезке [-п;п] удовлетворяет двум условиям:

1. F(x) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода.

2. F(x) кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье, сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией : S(x)=f(x)

2. В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна: т.е. равна среднему арифмитическому пределов функции f(x) справа и слева.

3. В точках x=-п и x=п, (на концах отрезка) сумма ряда равная

22. Разложение четных и нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье

Если разлагаемая на отрезке [-п;п] в ряд Фурье функция f(x) является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда( он становится так называемым неполным)

Если функция f(x) четная, то её ряд Фурье имеет вид:

Где

Если функция f(x) нечетная, то её ряд Фурье имеет вид:

Где

23. Тригонометрический ряд Фурье для непереодических функций, заданных на отрезке длины 2п, на отрезке [0;п].

24. Тригонометрический ряд Фурье для функций с произвольным периодом, ряд Фурье для функций заданных на отрезке [a,b]

Пусть функция f(x) является кусочно-непрерывной и ограниченной на отрезке [a,b] тогда для неё можно указать периодическую функцию с периодом T=b-a, которая является периодическим продолжением исходной функции f(x) с отрезка [a,b] на всю числовую ось.

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дерехле и следовательно её можно разложить в ряд Фурье.

25. Комплексная форма ряда Фурье.

Ряд Фурье может применятся к комплексной форме записи. Пусть дана f(x) на промежутке [-п;п]

26. Ортогональные системы функций и ряды Фурье по ним.

Две функции f(x) и g(x) называются ортогональными на отрезке (a;b) если их скалярным произведением является.

Система функции.

(a;b) если

Система функции называется ортонормированной если система его функций ортоггональны и норма каждой системы ортогональны.

Ряд Фурье по ортогональным системам функции.

Пусть f(x) интегрируемая на отрезке (a;b) функция и пусть (x) это система ортогональных функций на этом же отрезке (a;b). Предположим , что функция f(x) может быть представлена как:

Ряд Фурье:

Где некоторые постоянные числа называемые коэффициентом ряда.

Числа называются коэффициентами Фурье функции f(x) на промежутке [a;b] по ортогональной системе функции .