17. Применение степенных рядов для вычисления пределов дробей, значений производных различных порядков.

Для вычисления предела функции, представляющей собой дробь, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю при , необходимо числитель и знаменатель дроби разложить в ряды по степеням , произвести необходимые сокращения вследствии чего неопределенность 0 на 0 исчезает.

Для вычисления производных n-ого порядка необходимо воспользоватся формулой:

18. Применение степенных рядов для вычисления диффиренциальных уравнений.

Метод последовательных дифференциалов. Метод применяется в том случае если необходимо найти частное решение удовлетворяющих начальным условиям

решение ищем в виде ряда тейлора :

Первые 2 коэффициэнта известны из начальных условий

Подставив в уравнение значения находим третьий коэффициент: Значения … находим путем последовательного дифференцирования уравнения по x и вычисления производных при x= . Найденные значения производных подставляем в равенство ряда Тейлора. Ряд Тейлора представляет собой искомое частное решение уравнения для тех значений x при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением этого дифференциального уравнения.

2 Способ неопределенных коэффициентов.

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Начальные условия уравнения

Предпологая , что коэффициенты и свободный член разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале искомое решение

Ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты определяются при помощи начальных условий

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируемый степенной ряд два раза( каков порядок уравнения ) и подставляем выражения для функции y и её производных в уравнение , заменив в нем и их разложениями. В результате получаем тождество из которого методом неопределеных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный степенной яд сходится в том же интервале и служит решением дифференциального уравнения.

19. Периодические функции. Периодические процессы.

Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется периодической , с периодом T>0, если при каждом значение и выполняется равенство

– условие переодичности.

Основные свойства:

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.

2. Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период действительно,

3. Если f(x) имеет период T и является интегрируемой на некотором отрезке [a, a+T], длины T, эта функция интегрируема на любом отрезке длины T.

Простейшим периодическим процессом(движением) называется простое гармоническое колебание (гармоника).

Гармоника описывается функцией:

Где A – амплитуда колебания,

Основным периодом такой функции является . То есть одно полное колебание совершается за промежуток времени 2П.