Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R)
Степенные ряды
имеющие
радиусы сходимости соответственнно
можно почленно складывать, вычитать и
умножать. Радиус сходимости произведения,
суммы и разности рядов не меньше, чем
меньшее из чисел
Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда
Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости: при этом для ряда
14. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора.
Пусть функция f(x) определена в окресности точки и имеет в этой окресности производные до порядка n+1 .
Тогда для функции справедлива формула Тейлора:
Где
– остаточный член формулы Тейлора в
форме Лагранжа.
где
=
Если функция f(x)
определена в окресности
и имеет в этой окрестности производные
любого порядка и остаточный член
то есть
то из формулы Тейлора получается
разложение функции f(x)
по степеням
называемое рядом Тейлора.
При
– ряд Маклорена.
Теорема: Для того
чтобы ряд Тейлора функции f(x)
сходился к этой функции f(x)
в некоторой точке x
необходимо и достаточно чтобы в этой
точке
при
.
Замечание. Если ряд
Тейлора сходится к порождающей его
функции f(x)
то
равен остатку ряда Тейлора
Теорема. Достаточный признак разложения функции f(x) в ряд Тейлора.
Если производные
любого порядка функции f(x)
ограничены одним и тем же числом n
в некоторой окрестности точки
то есть
то для любого значения переменной x
из этой окрестности ряд Тейлора функции
f(x) сходится
к функции f(x)
то есть имеет место равенство
15. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
1)
2) Вычислить значение
производных
для ряда Тейлора и
для ряда Маклорена.
3) Написать разложение функции f(x) в ряд Тейлора или Маклорена воспользовавшись формулами и
4) Найти область сходимости получанных рядов.
5) Найти интервал - в котором остаточный член ряда Тейлора или Маклорена стремится к нулю при n стремящемуся к бесконечности. Если такой интервал существует, то в этом интервале сумма ряда и функция f(x) совпадают.
Таблица разложений в ряд Тейлора основных элементарных функций.
Arctgx=x-
16. Применение степенных рядов для вычисления приближенных значений функции, неопределенных и определенных интегралов.
Для приближенного вычисления значения функции эту функцию разлагают в ряд Тейлора или Маклорена и сохраняют в этом ряду первые n членов, а остальные отбрасывают чтобы получить точность.
В случае если это знакопостоянный ряд, то ряд состоит из отброшенных членов сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В качестве оценки остатка исходного ряда берут оценку остатка ряда геометрической прогрессии
В случае если исходный ряд знакочередующийся и его члены удовлетворяют признаку Лейбница то справедлива следующая оценка:
Интегралы:
Для вычисления определенного интегралов если подинтегральная функция f(x) раскладывается в равномерно сходящуюся на отрезке [a;b] можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда.