Равномерная сходимость функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости.
Функциональный
ряд
называется равномерно сходящимся в
области
если для любого
существует номер
и не зависящий от X.
Такой что
выполняется неравенство
С
геометрической точки зрения неравенство
означает , что начиная с некоторого
номера N графики частичных
сумм
ряда
не выходят за пределы ε окружности
графика его суммы.
Признаки равномерной сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов.
равномерно сходится на множестве D
тогда и только тогда, когда для любого
существует
Таким образом если функциональный ряд сходиться на области D, то необходимо чтобы выполнялось условие
Если же предел не равен нулю то функциональный ряд не сходится равномерно.
Теорема. Признак Вейерштрасса.
Если члены
функционального ряда
для любого
и для любого
удовлетворяют неравенству
и числовой ряд
то функциональный ряд
сходится равномерно и абсолютно.
Замечание:
при выполнении условия
говорят, что сходящийся ряд
является мажарантным функционального
ряда
.
Теорема Дерехле.
Функциональный ряд :
сходящимся равномерно на множестве D,
если выполняются два условия:
последовательность частичных сумм
ряда равномерно ограничена на множестве
D. Существует
.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда. Почленнное интегрирование и диффиренцирование функциональных рядов.
Непрерывность суммы функционального ряда.
Пусть все члены ряда непрерывны на множестве D и данный ряд сходится равномерно на этом множестве к сумме S(x) тогда сумма ряда S(x) является непрерывной на множестве D этой функции.
Следствие : в равномерно сходящимся ряде можно почленно переходить к пределу
Теорема об интегрировании функциональных рядов.
Пусть
функции
непрерывны на [a;b]
и функциональный ряд
Сходится
равномерно на отрезке [a;b]
функции S(x)
тогда для любой точки
также равномерно сходится на отрезке
[a;b] и
справедлива формула :
Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда.
Пусть ряд
непрерывно дифференцируемой функции
сходится к сумме S(X)
на [a;b], а
сходится равномерно на этом отрезке,
тогда ряд
сходится равномерно на отрезке [a;b],
его сумма является непрерывно
дифференцируемой функцией и справедлива
формула:
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Опр. Степенным рядом называется ряд вида:
Или:
Где
некоторые
действительные числа называемые
коэффициентом ряда,
Каждый из этих рядов сходится хотя бы в одной точке x=0 , а ряд два сходится в точке x= ,
Первый ряд называется рядом по степеням x, а ряд два называется рядом по степеням x- . Ряд два всегда можно привести к первому ряду с помощью замены x- =y.
Теорема Абеля.
Если
степенной ряд
сходится в некоторой точке
,
то он сходится абсолютно в любой точке
x удовлетворяющей
неравенство
и сходится равномерно в области
.
Если же
ряд
расходится в некоторой точке
то он расходится во всех точках x
удовлетворяющих условию
.
Для любого степенного ряда возможны три случая:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале (a,b) . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала (a,b) и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал (a,b) и называется интервалом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости, это половина длины интервала сходимости:
2) Степенной
ряд сходится абсолютно при любом значении
x . То есть, какое бы значение
«икс» мы не подставили в общий член
степенного ряда – в любом случае у нас
получится абсолютно сходящийся числовой
ряд. Интервал сходимости и область
сходимости в данном случае совпадают:
. Радиус сходимости: R
.
3) Степенной
ряд сходится в единственной точке. Если
ряд имеет вид
, то он будет сходиться в единственной
точке x=0 . В этом случае
интервал сходимости и область сходимости
ряда тоже совпадают и равны единственному
числу – нулю: x=0 . Если ряд
имеет вид
, то он будет сходиться в единственной
точке x=a ,
если ряд имеет вид
, то, понятно, – в точке «минус а». Радиус
сходимости ряда во всех случаях,
естественно, нулевой: R=0
.