6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.

Опр. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(15)

Где

Признак Лейбница

Пусть дан знакочередующийся ряд (15)

Если выполняются следующие два условия

1. Члены ряда убывают по модулю

2. 

То числовой ряд (15) сходится, сумма этого ряда не превосходит первого члена а остаток ряда оценивается соотношением

7. Признак Дерехле . Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Признак Дерехле

Ряд сходится, если частичные суммы ряда ограничены а последовательность монотонно стремится к нулю.

Свойства абсолютно у условно сходящихся рядов

1. Пусть ряды сходится абсолютно к суммам A и B соответственно. Тогда ряд также сходится абсолютно к сумме A+B/

2. Пусть ряд сходится абсолютно к А а R, тогда ряд сходится абсолютно к сумме

3. Произведением по Коши рядов называется ряд где

4. Пусть ряд сходится абсолютно к сумме А, ряд сходится абсолютно к сумме В, тогда ряд также сходится абсолютно к сумме S=A*B.

5. Если ряд сходится условно то оба ряда составленные только из положительных и только из отрицательных членов этого ряда расходится.

6. Перестановка членов условно сходящихся числовых городов может изменить его сумму.

8. Ряды с комплексными членами. Основные свойства сходящихся и абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами.

1. Выражение вида последовательность комплексных чисел называется числовым рядом с комплексными членами (обозночается ).

2. Сумма называется n-й частичной суммой ряда, обозначается , - — последовательность частичных сумм ряда.

3. называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует . Этот предел называется суммой ряда:

4. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд

Осн свойства:

1. Необходимый признак сходимости

Если ряд сходится то его общий член стремится к нулю. Т.е .

2. Если ряд сходится абсолютно то он сходитсяю

3. Признак сравнения.

Если для ряда существует сходяшийся числовой ряд с положительными членами такой что модуль начиная с некоторого номера N, то ряд сходится абсолютно.

4. Признак Даламбера.

Если для ряда выполняется условие ряд

Сходится абсолютно.

5. Признак Коши.

Если для ряда выполняется условие

9. Функциональный ряд и его область сходимости. Сумма ряда.

Функциональным рядом называется ряд вида , где некоторые функции от переменной x, определенные на множестве X.

Сумма = называется n-ой частичной суммой а выражение называется остатком ряда.

Придавая переменной x определенной значение , получим что функциональный ряд превращается в числовой ряд … который может как сходится так и расходится.

Если он сходится то говорят, что есть точка сходимости ряда , если же он расходится то это точка расходимости.

Совокупность всех значений при которых ряд сходится называется областью сходимости этого ряда.

Сходимость ряда для каждого конкретного значения называется поточечной сходимостью этого ряда.

Суммой ряда на множестве называется функция:

Различают области абсолютной и условной сходимости функционального ряда. Для определения области сходимости функционального ряда можно применить признаки Коши и Даламбера.