47. Основная теорема о вычетах. Теория суммы вычетов.

Пусть f(z) однозначная и аналитическая в односвязной области D за исключением конечного числа особых точек

Пусть далее замкнутая положительно ориентированная кривая целиком лежащая в области D и содержащая внутри .

Следствие если f(z) является аналитической на всей расширенной комплексной плоскасти за исключением то сумма вычетов во всех особых точках:

48. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов.

Основная теорема теории вычета и следствие из неё позволяют вычислить интеграл по замкнутому контуру если подинтегральная функция внутри области ограниченной этими функциями контуром имеет конечное число особых точек.

49. Приложение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов. Лемма Жордана.

1) Интеграл вида

Равен

2 Интеграл вида:

3 Лемма Жордана

Если , стремится к нулю, верхняя полуплоскость радиуса R с центром в начале координат то при t<0

Если f(z) удовлетворяет всем условиям то

50. Оригиналы и изображения. Теорема о существовании изображения. Необходимый признак существования изображения.

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

f(t)=0 при t<0
f(t) – кусочно-непрерывная при Т.е она непрерывна или имеет точки разрыва первого рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
Существуют такие числа , что для всех t выполняется неравенство , т.е при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменнго p=s+i

Определяемая интегралом:

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) зазывают преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(t) F(p)