43. Нули аналитической функции. Критерий кратности нуля.

Нулем аналитической функции в области D функции f(z) называется комплексное число , такое что f(a)=0

Разложение f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z=a (т. е. нуле функции) не будет содержать нулевого члена т.к.

Если условие выше выполняется то 0 функции называется простым.

Опр. Точка z=a называется 0 порядка к или нулем кратности, функции f(z) Если в разложении это функции в ряд Тейлора:

Для того чтобы точка z=a была нулем порядка k функции f(z) необходимо и достаточно чтобы выполнялось условия:

Опр. Нули аналитической функции f(z) называются изолированными если каждый из них можно окружить окресностью содержащей единственный нуль функции.

Нули аналитической функции изолированы.

44. Изолированные особые точки аналитической функции. Связь между нулями и полюсами аналитической функции.

Пусть функция аналитическая в некоторой окрестности самой точки a, в этом случае z=a называется изолированной особой точкой f(z) следовательно:

При этом возможны следующие случаи:

1. 

В этом случае точка z=a называется устранимой особой точкой f(z).

Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с

отрицательными показателями.

2. Пусть в главной части ряда Лорана, функция имеет конечное число ряда слагаемых, в таком случае точка называется полюсом порядка k:

3. Точка z=a называется существенно особой точкой функции f(z) если главная часть ряда Лорана в окрестности точки а, содержит бесконечное число слагаемых.

Связь между нулем и полюсом функции:

Если точка z=(a) является полюсом порядка k, функции f(z) то функция имеет в этой точке ноль порядка k;

Функция g(z) в точке z=a нуль порядка k, то функция имеет полюс порядка k.

45. Поведение аналитической функции в бесконечно удаленной точке.

Окрестностью бесконечно-удаленной точки называется внешность круга , достаточно большого радиуса R.

Пусть функция f(z) является аналитической в окрестности , тогда будет аналитична в окрестности z=0 и следовательно в этой окрестности её можно разложить в ряд Лорана.

Заменив в выражении выше:

Ряд выше называется рязложением функции f(z) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки . При этом левая часть выражения называется правильной частью, а правая главой частью.

1. Если главная часть в ряде отсутствует т.е все , то точка . Называется устранимой особой точкой функции f(z), в этом случае

2. Точка называется нулем порядка k функции f(z) если главная часть ряда Лорана отсутствует а для правильной части выполняется условие:

3. Называется полюсом порядка k функции f(z) если главная часть ряда Лорана содержит k слагаемых:

4. Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых то

Называется существенно особой точкой f(z)

46. Вычеты аналитических функций. Вычисление вычетов в полюсах. Вычет в бесконечно удаленной точке.

Вычетом функции f(z) в точке z=a называется коэффициент в разложении этой функции в ряд Лорана. Вычет обозначается

Где – замкнутый контур окружающий особую точку a и ориентированный положительно.

В качестве можно взять окружность с центром в a имеющую малый радиус и не содержащий внутри других особых точек.

Вычисление вычетов:

1. Пусть z=a устранимая особая точка f(z), тогда в окрестности этой точки, в ряде Лорана отсутствует главная часть поэтому

2. Пусть z=a является простым полюсом функции f(z) тогда ряд Лорана имеет вид:

3. Пусть f(z) имеет в точке z=a полюс порядка k, тогда вычет находится по формуле

4. Вычет в бесконечно-удаленной точке.

Вычетом в бесконечно-удаленной точке называется коэффициент при в разложении функции в ряд Лорана взятой с обратным знаком

ориентирована отрицательно - окружность |z|>R достаточно большого радиуса ориентирована положительно.