39. Функциональные ряды в комплексной области. Равномерная сходмость. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Функциональным рядом в комплексной области называется ряд вида:

Где фкп z=x+iy, определенные на некотором множестве G.

n-ая частичная сумма функционального ряда.

Функциональный ряд называется сходящимся к сумме если

Множество , точек z в которых ряд сходится называется областью сходимости этого ряда.

остаток функционального ряда.

Ряд сходится в некоторой точке Z тогда и только тогда, когда

Опр. Ряд называется равномерно сходящимся в области D к сумме f(z) если для любого существует такой, что для любого n>N выполняется неравенство:

Теорема Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда для любого и для любого удовлетворяют неравенству и числовой ряд то функциональный ряд сходится равномерно в области D.

Свойства функционального ряда:

Если члены равномерно сходящихся в области D являются аналитическими функциями в области D то этот ряд можно почленно интегрировать вдоль любой кривой причем справедливо равенство:

2 Пусть функциональный ряд сходится в каждой точке , а ряд сходится равномерно в области

3 Пусть члены функционального ряда являются аналитическими в области D к сумме f(z) тогда f(z) также будет аналитической в области D функцией.

40. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля. Круг сходимости степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Опр. степенным рядом называется ряд вида:

Где

Теорема Абеля.

Пусть степенной ряд сходится в некоторой точке тогда этот ряд сходится абсолютно в

И сходится равномерно в круге

Если ряд сходится в точке то он сходится во всех точках z удовлетворяющих

Для каждого степенного ряда существует так называемый круг сходимости с центром в точке и R сходимости R

Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Пусть R>0 это R сходимости степенного ряда тогда этот ряд можно почленно дифференцировать в круге

Любое число раз. Получаемые при этом дифференцировании степенные ряды имеют тот же R сходимости, что и степенной ряд можно почленно интегрировать вдоль любой гладкой кривой принадлежащей целеком кругу

41. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Основные тейлоровские разложения.

Всякая аналитическая в круге функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд.

Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для функции f(z) в рассматриваемом круге.

Коэффициенты которого определяются формулами:

Где lr произвольная окружность с центром в точке лежащая внутри круга.

Основные разложения:

42. Ряд Лорана. Единственность разложения функции в ряд Лорана.

Всякая аналитическая в кольце (0 функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом кольце в ряд.

Ряд выше называется рядом Лорана для функции f(z) в рассматриваемом кольце.

Коэффициенты которого определяются формулой:

Где L – произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри данного кольца.

Ряд Лорана для функции :

Состоит из двух частей

Правильная часть ряда Лорана.

Главная часть ряда Лорана