1. Числовой ряд и его сумма. Остаток ряда. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов.

Числовым рядом называется выражение вида: (1). Где действительные или комплексные числа называемые членами этого ряда, при это0м называется общий или n-й член ряда.

Рассмотрим следующие суммы:

Суммы называются частичными суммами ряда а число называется n-ой частичной суммой ряда

Если сушествует конечный предел последовательности частичных сумм , …. то ряд (1) называется сходящимся, а число называется суммой ряда (1).

Если предел не существует или равен 0 то ряд (1) называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда :

Если числовой ряд сходиться то его общий член стремится к 0 , то есть

(3)

n-ый остаток ряда .

Для того чтобы числовой ряд (1) сходился необходимо и достаточно чтобы его остаток сходился и предел

Опр. Суммой двух рядов и называется ряд который обозначается =

Произведение на число называется =

Свойства сходящихся рядов.

1. Если числовой ряд (1) сходится и его сумма = S то числовой ряд его сумма равна α*S

2. и два сходящихся ряда суммы которых равны то ряд сумма этого ряда равна

3. Сходимость ряда не нарушается если произвольным образом изменить (переставить , добавить или отбросить) конечное число членов этого ряда.

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признак сравнения и предельный признак сравнения.

,

Теорема

сходится, а последовательность – ограничена, тогда ряд – сходящийся

Признак сравнения

Пусть ряды и знакоположительные. Если существует выполняется неравенство 0 , то

1. Из сходимости ряда следует сходимость

2. Из расходимости ряда следует расходимость ряда

Теорема: Предельный признак сравнения

Пусть знакоположительные ряды. Если существует конечный , отличный от нуля предел то ряды сходятся или расходятся одновременно .

3. Признак Даламбера и Коши

Признак Даламбера

Пусть сумма – числовой ряд с положительными членами. Если существует конечный предел =L То при

.

Признак Коши

Пусть сумма – числовой ряд с положительными членами. Если существует конечный предел , то при

.

4. Интегральный признак Коши. Оценка остатка ряда

Если члены знакоположительного ряда , могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей функции на отрезке [1; + ] таким образом что то:

1. Если несобственный интеграл от сходится то и ряд сходится

2. Если несобственный интеграл от расходится то и ряд расходится

С помощью интегрального признака сходимости ряда можно оценить его остаток

5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов . Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременных рядов .

Опр. Ряды знаки членов которых изменяется называется знакопеременным.

Пусть – знакопеременный ряд (12)

Если последний ряд сходится то знакопеременный ряд (12) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (12) сходится а ряд из модулей расходится то ряд (12) называется условно сходящимся.

общий достаточный признак сходимости ряда

Пусть дан знакопеременный ряд :

(13)

Если сходится ряд (14) то сходится и сам знакопеременный ряд (13)

Из сходимости ряда (13) не всегда следует сходимость ряда (14)

Достаточные признаки абсолютной сходимости рядов.

1. Признак сравнения

Пусть для членов рядов и выполняется неравенство и ряд сходится, тогда ряд сходится абсолютно.

2. Признак Даламбера. Если для ряда выполняется условие =L, то при

.

3. Признак Коши. Если для ряда выполняется условие ,

.