3. Коэффициент теплопроводности

Как было сказано, коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества. В общем случае коэффициент теплопроводности зависит от температуры, давления и рода вещества; в большинстве случаев коэффициент теплопроводности для различных материалов определяется экспериментальными методами. Большинство из них основано на измерении теплового потока и градиента температур в заданном веществе.

Коэффициент теплопроводности λ, Вт/(м·К), при этом определяется из соотношения

. (1.18)

Из уравнения (1.18) следует, что коэффициент теплопроводности численно равнее количеству теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице.

Порядок значений λ различных веществ показан на рис. 1.4.

Рис.1.4. Порядок значений коэффициентов теплопроводности различных веществ.

Т ак как тела могут иметь различную температуру, а при наличии теплообмена и в самом теле температура будет распределена неравномерно, то в первую очередь важно знать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Опыты показывают, что для многих материалов с достаточной для практики точностью зависимость коэффициента теплопроводности от температуры можно принять линейной

, (1.19)

где λ₀ – значение коэффициента теплопроводности при температуре t₀;

b – постоянная, определяемая опытным путем.

3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического явления сводится к установлению за­висимости между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами очень трудно. В этих случаях на помощь приходит метод математической физики, который исходит из того, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет в пределах элементарного объема и выбранного малого отрезка времени пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс, и сущест­венно упростить зависимость.

Выбранные таким образом элементарный объем и элементар­ный промежуток времени , в пределах которых рассматривается изу­чаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение среды и рассматривать ее как континуум (сплош­ную). Полученная таким образом зависимость является общим диффе­ренциальным уравнением рассматриваемого процесса. Интегрируя диф­ференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматри­ваемого промежутка времени.

При решении задач, связанных с нахождением температурного по­ля, необходимо иметь дифференциальное уравнение тепло­проводности.

Для облегчения вывода этого дифференциального уравнения сде­лаем следующие допущения:

–тело однородно и изотропно;

– физические параметры постоянны;

– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;

– внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае мо­гут быть заданы как , распределены равномерно.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ вследствие теп­лопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмо­трения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме

, (1.20)

где dQ₁ – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время dτ;

dQ₂– количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объем за счет внутренних источников;

dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время dτ.

Для нахождения составляющих уравнения (1.20) выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 1.5). Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.

К оличество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQ_x, dQ_y, dQ_z.

Рис.1.5. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности.

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz. Количество теплоты, подведенное к грани dydz в направлении оси Ох за время dτ, составляет ,

где q_x – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох, запишется так

.

Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время dτ в направлении оси Ох, представляет собой количество теплоты

или

. (а)

Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора

Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (а) запишется в виде

. (б)

аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему и в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.

Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно

. (в)

Определим вторую составляющую уравнения (1.20). Обозначим ко­личество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени и называемое мощностью внутренних источников теплоты, через Вт/м³. Тогда

. (г)

Третья составляющая в уравнении (1.20) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, под­веденная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энер­гии вещества, заключенного в этом объеме, т. е. .

Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема , тогда dU найдется как

, (д)

где – изохорная теплоемкость единицы объема, Дж/(м³·К);

– изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);

ρ – плотность вещества, кг/м³.

Подставляя полученные выражения (в), (г) и (д) в уравнение (1.20), получим

, (1.21)

или

. (1.21^/)

Выражение (1.21) является дифференциальным уравнением энер­гии для изохорного процесса переноса теплоты.

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведен­ная к объему, уйдет на изменения энтальпии вещества, заключенного в этом объеме, и уравнение (1.20) запишется следующим образом

. (1.22)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то можно показать, что

, (е)

где C_p – изобарная теплоемкость единицы объема, Дж/(м³·К);

с_p – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).

Если полученные выражения (в), (г) и (е) подставить в уравнение (1.22), получим

, (1.23)

или

, (1.23^/)

Соотношение (1.23) является дифференциальным уравнением энер­гии в самом общем виде для изобарного процесса переноса тепло­ты. Уравнение (1.23) будет широко использоваться и в других разделах курса при рассмотрении конкретных видов переноса теплоты.

В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье , числовое значение разности c_p и c_υ мало и можно принять .

Напомним, что проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются выражениями

; ; .

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (1.21) и опуская индекс при с, получим

, (1.24)

или

. (1.24^/)

Выражение (1.24), так же как и в (1.24'), называется дифферен­циальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь меж­ду временным и пространственным изменением температуры в любой точке тепла, в котором происходит процесс теплопроводности.

Наиболее общее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных имеет ту же форму, что и (1.24), но с перемен­ными теплофизическими характеристиками λ, с и ρ, которые можно обо­значить как , и . Такая запись вклю­чает как пространственно-временную, так и температурную зависи­мость. Уравнение (1.24) описывает большое количество задач тепло­проводности, представляющих практический интерес. Так, если принять теплофизические характеристики постоянными, что предполагалось при выводе уравнения, то (1.24) принимает вид

. (1.25)

В уравнении (1.25) можно обозначить

(ж)

и

, (з)

где

выражение оператора Лапласа в декартовой системе координат.

Выражение в цилиндрической системе координат имеет вид

, (и)

где r – радиус-вектор;φ – полярный угол; z – аппликата.

Выражение в сферической системе координат имеет вид

, (к)

где r – радиус-вектор; – соответственно полярное расстояние и долгота.

С учетом сказанного в общем виде уравнение (1.25) запишется следующим образом

. (1.26)

Коэффициент пропорциональности а, м²/с, в уравнении (1.26) назы­вается коэффициентом температуропроводности и явля­ется физическим параметром вещества. Он существен для нестационар­ных тепловых процессов и характеризует скорость изменения темпера­туры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности являет­ся мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (1.26) следует, что изменение температуры во времени для любой точки прост­ранства пропорционально величине а. Иначе говоря, скорость измене­ния температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности а. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффи­циентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводно­сти зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффи­циентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температу­ропроводности. Далее, если система тел не содержит внутренних источ­ников теплоты (q=0), тогда выражение (1.26) принимает форму уравне­ния Фурье

. (1.27)

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т. е. то дифференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение Пуассона

. (1.28)

Наконец, для стационарной теплопроводности и отсутствия внутрен­них источников теплоты выражение (1.25) принимает вид уравнения Лапласа

. (1.29)

Нахождение частных решений этих уравнений в частных производ­ных и некоторых других является основным содержанием теории тепло­проводности.