5.3 Критерии подобия и уравнения подобия

Помимо безразмерных величин и безразмерных координат, составленных из однородных физических величин, в уравнения входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин

.

Этим комплексам, называемым числами подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие теплотехники и механики.

Первый из этих безразмерных комплексов обозначают

(5.5)

и называют числом Нуссельта или безразмерным коэффициентом теплоотдачи. Число Нуссельта характеризует теплообмен на границе стенка – жидкость. В задачах конвективного теплообмена число Nu обычно является искомой величи­ной, поскольку в него входит определяемая величина α.

Несмотря, на внешнее сходство с числом Био, рассмотренным при изучении теплопроводности, число Нуссельта существенно отличается от него. В число Bi входит коэффициент теплопроводности твердого те­ла; в число Nu – коэффициент теплопроводности жидкости. Кроме того, в число Био коэффициент теплоотдачи вводится как величина, заданная в условиях однозначности, мы же рассматриваем коэффициент теплоот­дачи, входящий в Nu, как величину искомую.

Безразмерный комплекс

(5.6)

называют числом Рейнольдса. Оно характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости. Действительно, число Рейнольдса будет полу­чено, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий в этом уравнении силы трения

.

Число Рейнольдса является важной характеристикой как изотерми­ческого, так и неизотермического процессов течения жидкости.

Третий безразмерный комплекс обозначают

(5.7)

и называют числом Пекле. Его можно преобразовать следующим образом

,

здесь числитель характеризует теплоту, переносимую конвекцией, а знаменатель – теплоту, переносимую теплопроводностью.

Безразмерный комплекс

(5.8)

называют числом Грасгофа. Оно характеризует подъемную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей. Т.к. при выводе уравнения движения было принято, что , вместо Gr можно написать его более общую модификацию – число Архимеда

. (5.9)

В случае однородной среды при условии β=const число Архимеда идентично числу Gr.

Используя введенные обозначения, систему безразмерных диффе­ренциальных уравнений можно записать в следующем виде

; (5.10)

; (5.11)

; (5.12)

. (5.13)

Система безразмерных дифференциальных уравнений и безразмер­ных условий однозначности (г) представляет собой матема­тическую формулировку задачи.

Безразмерные величины Θ, W_х, Wy, X, Y, Nu, Re, Ре, Gr можно рас­сматривать как новые переменные. Их можно разделить на три группы:

– независимые переменные – это безразмерные координаты X, У;

– зависимые переменные – это Nu, Θ, W_x, W_y; они однозначно определяются значениями независимых переменных при определенных значениях величин, входящих в условия однозначности;

– постоянные величины – это Ре, Re, Gr; они заданы условиями однозначности и для конкретной задачи являются постоянными (действи­тельно, как следует из (5.6)-(5.8), числа Ре, Re и Gr состоят только из величин, входящих в условия задачи).

В результате можно написать

, (5.14)

, (5.15)

, (5.16)

. (5.17)

Уравнения вида (5.14) – (5.17) называют уравнениями подо­бия.

Здесь Х_с, Y_c – уравнение (5.14) – соответствуют поверхности теп­лоотдачи (стенки). Нахождение α (или Nu) для точек пространства, не лежащих на поверхности стенки, не имеет смысла.

Если в уравнении движения учесть член , то в результате приведения к безразмерной записи появился бы член

.

Безразмерный комплекс

(5.18)

называют числом Эйлера. Это число характеризует соотношение сил давления и сил инерции. В уравнения конвективного теплообмена зави­симая переменная Еu входит только под знаком производной. Следова­тельно, для рассматриваемой нами несжимаемой жидкости с постоян­ными физическими параметрами существенно не абсолютное значение давления, а его изменение. Поэтому число Эйлера обычно представляют в виде

,

где р₀ – какое-либо фиксированное значение давления, например давле­ние на входе в канал. Это давление может быть неизвестной величиной.

Очевидно, при неизменной математической формулировке задачи новые 'безразмерные величины могут быть получены соответствующим комбинированием старых безразмерных величин, однако при этом число переменных под знаком функции не должно измениться.

Число Ре, полученное при приведении к безразмерному виду урав­нения энергии, можно представить как произведение двух безразмерных переменных

. (5.19)

Безразмерная величина представляет собой новую перемен­ную, называемую числом Прандтля. Число Прандтля целиком со­ставлено из физических параметров, и поэтому и само является физи­ческим параметром. Его можно записать и в виде

. (5.20)

Числу Прандтля можно придать определенный физический смысл. Уравнение энергии

и уравнение движения

по записи аналогичны. При расчетные поля температур и скоро­стей будут подобны, если только аналогичны и условия однозначности. Условию a=v соответ­ствует равенство Pr =1. Таким образом, при определенных условиях числу Прандтля может быть придан смысл меры подобия полей темпе­ратур и скоростей.

Числа Pr капельных жидкостей сильно зависят от температуры, причем для большинства жидкостей эта зависимость в основном аналогична зависимости вязкости μ(t), так как теп­лоемкость с_р и коэффициент теплопроводности λ зависят от температуры более слабо. Значения числа Pr для воды пpи температурах от 0 до 180°С сильно умень­шаются с ростом температуры (от 13,7 до 1), что связано с резким уменьшением вязкости воды и ростом λ в этой области температур. Тепло­емкость при этом очень мало зависит от тем­пературы.

При температурах от 180 до 310°С значе­ния числа Pr для воды очень незначительно изменяются и близки к единице. Характер зави­симости Pr от температуры резко изменяется только при давлениях и температурах, близ­ких к критическим.

Число Pr газов практически не зависит ни от температуры, ни от давления и для данного газа является величиной постоянной, определяемой атомностью газа.

В соответствии с кинетической теорией газов число Pr имеет следующие значения:

Для одноатомных газов .......... 0,67

Для двухатомных газов ....... ... 0,72

Для трехатомных газов .......... 0,8

Для четырехатомных и более газов .... 1

Действительные значения числа Pr реальных газов несколько отли­чаются от указанных значений.

Учитывая, что Pe = Re Pr, уравнения подобия (5.14) – (5.17) можно записать в виде

, (5.21)

, (5.22)

, (5.23)

. (5.24)

Исходя из уравнений (5.14) – (5.17) и (5.21) –(5.24), безразмер­ные переменные можно разделить на два вида:

– определяемые – это числа, в которые входят искомые зависи­мые переменные; в рассматриваемом случае зависимыми являются , следовательно, определяемыми являются Nu, Θ, W_x и W_y;

– определяющие – это числа, целиком составленные из незави­симых переменных и постоянных величин, входящих в условия однознач­ности; в рассматриваемом случае определяющими являются X, У, Re, Pr (или Ре) и Gr.

Числа подобия, составленные из наперед заданных параметров (по­стоянных) математического описания процесса, называют также кри­териями подобия.