3. Теплопроводность в телах сложной формы

Существует ряд приближенных решений задачи о распространении теплоты в телах произвольной формы. Рассмотрим метод, базирую­щийся на принципе стабильности теплового потока. Если на поверх­ности твердого тела оставить тепловой поток постоянным, но изменить, условия охлаждения на небольшом участке поверхности, то это вызовет существенное местное изменение температурного поля. Однако в точ­ках, достаточно удаленных от места возмущения, изменение темпера­турного поля будет ничтожным.

Из сказанного следует, что деформация поверхности тела будет оказывать существенное влияние на температурное поле только в точ­ках, близких к поверхности, а в удаленных от поверхности точках ха­рактер температурного поля будет оставаться неизменным.

Используя эти свойства стабильности теплового потока, расчет теплопроводности в телах сложной геометрической конфигурации мож­но свести к расчету процесса нагрева (охлаждения) тел трех класси­ческих форм: одномерной плоской пластины – тело первого класса, длинного круглого цилиндра – тело второго класса и шара – тело третьего класса. При решении задачи прежде всего необходимо рациональным образом определить класс, к которому надо отнести рассматри­ваемое тело. Затем произвести сравнение температурного поля с темпе­ратурным полем основного тела этого класса.

Согласно принципу стабильности должно выполняться условие

, (3.22)

где α – среднее по поверхности значение коэффициента теплоотдачи, Вт/(м·К);

t_с – средняя температура поверхности тела, ⁰С;

t_ж – температура окружающей среды, ⁰С;

F – поверхность охлаждения, м²;

τ – время, с.

Величина без индекса «0» относится к рассматриваемому телу, а с индексом «0» – к основному телу соответствующего класса. При соблюдении условий (3.22) расчет температурного поля рассматри­ваемого тела можно свести к расчету температурного поля эквивалент­ного основного тела соответствующего класса (пластины, цилиндра, или шара). Последнее предполагает, что внешняя конфигурация тела будет существенно влиять на температурное поле только в точках, близ­ких к поверхности. Температурные поля вдали от поверхности стано­вятся сопоставимыми с температурными полями в основных телах соот­ветствующего класса.

Если в уравнении (3.22) обозначить

и при этом принять

и ,

то уравнение (3.22) принимает вид

,

или

, (3.23)

где

. (3.24)

Безразмерный множитель А характеризует размер поверхности рассматриваемого тела, выраженный через поверхность основного тела. Величину А называют критерием формы.

Уравнение (3.23) выражает количественные требования, которые необходимо выполнить для обеспечения эквивалентности температур­ных полей обоих тел.

При расчете температурных полей в формулы для основных тел вместо α подставляется величина α₀, вычисленная по уравнению (3.23), и в качестве определяющего линейного размера l₀ берется эквивалентный размер для тела соответствующего класса. При этом число Bi имеет вид

. (3.25)

Для тел первого класса

– определяющий эквивалентный линейный размер

, (3.26)

где V – объем тела, м³;

F_ср – площадь средней плоскости тела, м²;

– критерий формы

, (3.27)

где F – площадь одной боковой поверхности стенки, м².

Для тел второго класса:

– определяющий эквивалентный линейный размер

, (3.28)

где F_сеч – площадь поперечного сечения тела, м²;

– критерий формы

, (3.29)

где р – периметр поперечного сечения рассматриваемого тела, м;

р₀ – периметр поперечного сечения эквивалентного круглого цилиндра, м.

Для тел третьего класса определяющий эквивалентный линейный размер

. (3.30)

Если в уравнении (3.24) величину поверхности эквивалентного шара выразить через объем V, равный объему рассматриваемого тела, то критерий формы

. (3.31)

Описанный метод расчета температурных полей дает удовлетворительные результаты при малой и средней интенсивности теплообмена на поверхности тела.

При большой интенсивности теплообмена (Bi>>1) вместо уравнения (3.23) используют выражение

. (3.32)

В дальнейшем при выполнении расчета могут быть использованы ранее полученные формулы.

Методические указания.

Рассматривая теплопроводность элементарных тел (пластина, труба, шар) студент должен уметь применить закон Фурье для каж­дого случая, т.е. вывести уравнения, определяющие закон распре­деления температур по толщине стенки и количество теплоты, пере­даваемой через стенку. При изучении процесса теплопередачи через стенку надо уметь анализировать влияние отдельных термических со­противлений на общее сопротивление, знать способы уменьшения тер­мических сопротивлений. В нестационарной теплопроводности обра­тить внимание на решение конкретных задач с помощью критериев Bi и Fo, твердо усвоить их физический смысл и влияние на протекание процессов нагрева или охлаждения.

Вопросы для самопроверки.

1. Как передается теплота в процессе теплопроводности?

2. Сформулируйте основной закон теплопроводности.

3. Какова размерность коэффициентов α, λ, а?

4. Уравнения теплоотдачи и те­плопередачи.

5. Каков закон распределения температуры по тол­щине плоской и цилиндрической стенок?

6. Как связано термиче­ское сопротивление и коэффициент теплопередачи?

7. Каковы пути интенсификации процесса теплопередачи?

8. По какому условию выбирается материал изоляции трубы?

9. Какова методика расчета нагрева и охлаждения тел с помощью критериев Bi и Fo?

10. Чем характеризуется регулярный режим охлаждения (нагрева) тел?

Часть вторая. КОНВЕКИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН