3. Регулярный режим теплопроводности

Охлаждение однородного, изотропного тела произвольной формы в среде с постоянной температурой и постоянным коэффициентом теп­лоотдачи на его поверхности во времени определяется дифференциаль­ным уравнением теплопроводности

(3.14)

и граничными условиями

,

.

Решение уравнения (3.14) при t_ср=const показывает, что температура в любой точке тела изменяется по экспоненциальному закону

, (3.15)

где ; А_i – постоянные, зависящие от формы тела и начального распределения температур;

U_i – функция координат, характеризующая изменение температуры в пространстве;

m_i – постоянные, представляющие собой ряд положительных возрастающих чисел (m₁<m₂<m₃<…<m_i).

Анализ уравнения (3.15) показывает, что при малых значениях τ от τ=0 до τ=τ₁ процесс охлаждения (нагревания) зависит от на­чальных условий охлаждения и имеет случайный характер, не свя­занный с условиями охлаждения. Этот период охлаждения будет опре­деляться не только первым, но и последующими членами ряда (3.15). Эту стадию охлаждения называют первым периодом охлаждения, или неупорядоченным процессом.

С увеличением времени τ ряд быстро сходится и все члены его, кроме первого, стремятся к нулю. При τ, превышающем некоторое оп­ределенное значение τ>τ₁ начальные условия начинают играть вто­ростепенную роль, и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на поверхности тела, его физическими свойствами, гео­метрической формой и размерами. Вторая стадия охлаждения назы­вается регулярным режимом и описы­вается первым членом ряда (3.15), т. е.

. (3.16)

Логарифмируя последнее уравнение, имеем

. (3.17)

Из уравнения (3.17) видно, что ре­гулярный режим теплопроводности ха­рактеризуется тем, что натуральный логарифм избыточной темпера­туры любой точки тела изменяется во времени по линейному за­кону.

После дифференцирования обеих частей уравнения (3.17) по вре­мени получаем

. (3.18)

Относительная скорость изменения температуры в единицу вре­мени в любой точке тела не зависит от координат и времени.

В еличину т называют темпом регулярного режима и определяют из опыта. Если взять внутри тела какую-либо точку и измерять в этой точке температуру, то процесс охлаждения можно представить кривой (рис. 3.2). Величина т, очевидно, равна тангенсу угла на­клона прямой к оси абсцисс

Рис. 3.2.

. (3.19)

Теория регулярного режима теплопроводности применима к телам любой формы. Она позволила установить связь между темпом регулярного режима, его физическими и геометрическими величинами и внешними условиями теплообмена. В общем случае величина т определяется из уравнения

, (3.20)

т. е. величина т, характеризующая скорость охлаждения тела, прямо пропорциональна коэффициенту теплоотдачи α (если α не ) по­верхности тела F и обратно пропорциональна его полной теплоемкости – безразмерный коэффициент пропорциональности, ха­рактеризующий неравномерность распределения температуры в теле и являющийся функцией числа Био.

Это уравнение выражает закон сохранения энергии для охлаждающегося тела в среде с постоянной температурой. Если , то распределение температур в теле равномерно; если , то распределение температур становится наиболее неравномерным – температура поверхности равна температуре среды, а температура внутри всего тела не равна температуре поверхности.

Если коэффициент теплоотдачи , то величина т прямо пропорциональна коэффициенту температуропроводности охлаждающегося тела

или , (3.21)

где- К – коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических размеров и формы тела, м². Например, для шара

,

для короткого цилиндра

,

где r – радиус; l – длина цилиндра.

На основе теории регулярного режима теплопроводности разработаны методы определения теплофизических величин а, λ и с для твердых и жидких тел. Эти методы получили широкое распространение в технике.