Цилиндр бесконечной длины
Рассмотрим охлаждение равномерно прогретого круглого цилиндра большой длины радиусом r в среде с меньшей постоянной температурой. Коэффициент теплоотдачи от поверхности цилиндра к среде не меняется во времени. Физические величины с,ρ и λ материала цилиндра не зависят от температуры и считаются известными. Необходимо определить: температуру поверхности, температуру на оси цилиндра и количество теплоты, отданное цилиндром в окружающую среду, для любого момента времени.
Для цилиндра неограниченной длины дифференциальное уравнение теплопроводности удобнее отнести к цилиндрическим координатам. При этом принято, что в начальный момент времени (τ=0) температура по всему объему цилиндра постоянна. Тогда
.
(3.9)
Задача на охлаждение цилиндра аналогична задаче на охлаждение пластины. Поэтому температура на поверхности, на центральной оси и теплопотери цилиндра через произвольные промежутки времени определяются из следующих соотношений
.
(3.10)
Для цилиндрической стенки
,
где r – радиус цилиндра.
Величины
определяют по таблицам 3.4, 3.5, 3.6, а затем
по ним легко найти tср,
tц
и Qτ.
Таблица 3.4.
Значения для цилиндра бесконечной длины
Bi |
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,5 |
1 |
4 |
10 |
20 |
50 |
Fo |
||||||||||
0,01 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
0,05 |
- |
- |
- |
- |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
0,1 |
- |
- |
- |
1,0 |
0,99 |
0,97 |
0,94 |
0,9 |
0,88 |
0,87 |
0,25 |
- |
- |
1,0 |
0,98 |
0,89 |
0,81 |
0,59 |
0,48 |
0,42 |
0,4 |
0,5 |
- |
- |
0,99 |
0,93 |
0,72 |
0,55 |
0,24 |
0,15 |
0,12 |
0,1 |
1,0 |
- |
- |
0,98 |
0,84 |
0,46 |
0,25 |
0,04 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
2,5 |
- |
1,0 |
0,95 |
0,63 |
0,12 |
0,02 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
5,0 |
1,0 |
0,99 |
0,91 |
0,38 |
0,01 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
10 |
1,0 |
0,98 |
0,82 |
0,14 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
- |
25 |
1,0 |
0,95 |
0,61 |
0,01 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Таблица 3.5
Значения для цилиндра бесконечной длины
Bi |
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,5 |
1 |
4 |
10 |
20 |
50 |
Fo |
||||||||||
0,01 |
- |
- |
1,0 |
0,99 |
0,95 |
0,89 |
0,66 |
0,42 |
0,24 |
0,11 |
0,05 |
- |
1,0 |
0,99 |
0,97 |
0,87 |
0,77 |
0,42 |
0,21 |
0,1 |
0,05 |
0,1 |
- |
1,0 |
0,99 |
0,96 |
0,82 |
0,69 |
0,31 |
0,14 |
0,06 |
0,03 |
0,25 |
- |
1,0 |
0,99 |
0,93 |
0,71 |
0,53 |
0,17 |
0,06 |
0,03 |
0,01 |
0,5 |
- |
1,0 |
0,99 |
0,88 |
0,67 |
,35 |
0,17 |
0,02 |
0,01 |
0,0 |
1,0 |
- |
1,0 |
0,98 |
0,8 |
0,36 |
0,16 |
0,01 |
0,0 |
- |
- |
2,5 |
- |
1,0 |
0,95 |
0,6 |
0,1 |
0,02 |
0,0 |
- |
- |
- |
5,0 |
1,0 |
0,99 |
0,9 |
0,37 |
0,01 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
10 |
1,0 |
0,98 |
0,82 |
0,14 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
- |
25 |
1,0 |
0,95 |
0,61 |
0,01 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Таблица 3.6
Значения для цилиндра бесконечной длины
Bi |
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,5 |
1 |
4 |
10 |
20 |
50 |
Fo |
||||||||||
0,01 |
- |
- |
- |
- |
0,01 |
0,02 |
0,05 |
0,11 |
0,15 |
0,18 |
0,05 |
- |
- |
- |
0,01 |
0,05 |
0,08 |
0,21 |
0,32 |
0,38 |
0,42 |
0,1 |
- |
- |
- |
0,02 |
0,09 |
0,15 |
0,37 |
0,48 |
0,54 |
0,58 |
0,25 |
- |
- |
- |
0,05 |
0,2 |
0,33 |
0,62 |
0,75 |
0,79 |
0,81 |
0,5 |
- |
- |
0,01 |
0,09 |
0,36 |
0,55 |
0,85 |
0,92 |
0,94 |
0,95 |
Продолжение табл. 3.6
1,0 |
- |
- |
0,02 |
0,18 |
0,59 |
0,79 |
0,98 |
0,99 |
1,0 |
1,0 |
2,5 |
- |
- |
0,05 |
0,39 |
0,89 |
0,98 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
5,0 |
- |
0,01 |
0,09 |
0,62 |
0,99 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
10 |
- |
0,02 |
0,18 |
0,86 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
25 |
- |
0,04 |
0,39 |
0,99 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
Внутреннюю энергию рассматриваемого участка цилиндра длиной l, отсчитанную от ее значения при температуре среды, как от нуля, находим по формуле
.
(3.11)
Шар
Рассмотрим охлаждение шара радиусом r, масса которого равномерно прогрета до постоянной температуры в среде с более низкой постоянной температурой. Физические постоянные с, ρ и λ, а также коэффициент теплоотдачи известны. Требуется определить для любого момента времени: температуру поверхности, температуру в центре шара и количество теплоты, теряемое шаром в окружающую среду.
Дифференциальное уравнение теплопроводности удобнее отнести к сферическим координатам
.
(3.12)
Задача на охлаждение шара аналогична задачам на охлаждение пластины и цилиндра; безразмерные величины являются функцией только двух чисел Bi и Fo и определяются из следующих соотношений
.
Для шара
,
где r– радиус шара.
Зависимости между безразмерными величинами определяются по таблицам 3.7, 3.8 и 3.9 или графикам, а затем по ним – tст, tц и Qτ.
Начальная внутренняя энергия шара отсчитывается от ее значения при температуре среды как то нуля по формуле
.
(3.13)
Таблица 3.7
Значения для шара
Bi |
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,5 |
1 |
4 |
10 |
20 |
50 |
Fo |
||||||||||
0,01 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
0,05 |
- |
- |
- |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
0,99 |
0,98 |
0,98 |
0,97 |
0,1 |
- |
- |
1,0 |
0,99 |
0,97 |
0,95 |
0,87 |
0,8 |
0,76 |
0,73 |
0,25 |
- |
1,0 |
0,99 |
0,97 |
0,81 |
0,69 |
0,38 |
0,26 |
0,22 |
0,19 |
0,5 |
- |
1,0 |
0,99 |
0,89 |
0,58 |
0,37 |
0,09 |
0,03 |
0,02 |
0,02 |
1,0 |
- |
1,0 |
0,97 |
0,77 |
0,29 |
0,11 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
2,5 |
2,0 |
0,99 |
0,93 |
0,55 |
0,04 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
5,0 |
1,0 |
0,99 |
0,87 |
0,24 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
- |
10 |
1,0 |
0,98 |
0,75 |
0,06 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
25 |
1,0 |
0,94 |
0,49 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Таблица 3.8
Значения для шара
Bi |
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,5 |
1 |
4 |
10 |
20 |
50 |
Fo |
||||||||||
0,01 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
0,99 |
0,94 |
0,89 |
0,64 |
0,38 |
0,22 |
0,1 |
0,05 |
1,0 |
1,0 |
0,99 |
0,97 |
0,86 |
0,75 |
0,39 |
0,17 |
0,09 |
0,03 |
0,1 |
1,0 |
1,0 |
0,99 |
0,95 |
0,79 |
0,64 |
0,26 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,25 |
1,0 |
1,0 |
0,99 |
0,92 |
0,64 |
0,44 |
0,1 |
0,03 |
0,01 |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,0 |
0,98 |
0,85 |
0,46 |
0,24 |
0,02 |
0,0 |
0,0 |
- |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
0,97 |
0,73 |
0,23 |
0,07 |
0,0 |
- |
- |
- |
2,5 |
1,0 |
0,99 |
0,93 |
0,52 |
0,03 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
5,0 |
1,0 |
0,99 |
0,86 |
0,23 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
- |
10 |
1,0 |
0,97 |
0,75 |
0,05 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
25 |
1,0 |
0,94 |
0,48 |
0,0 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
Таблица 3.9
Значения для шара
Bi |
0,0001 |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
0,5 |
1 |
4 |
10 |
20 |
50 |
Fo |
||||||||||
0,01 |
- |
- |
- |
0,0 |
0,02 |
0,03 |
0,09 |
0,16 |
0,22 |
0,27 |
0,05 |
- |
- |
- |
0,02 |
0,07 |
0,12 |
0,32 |
0,46 |
0,53 |
0,57 |
0,1 |
- |
- |
- |
0,03 |
0,13 |
0,23 |
0,51 |
0,66 |
0,71 |
0,75 |
0,25 |
- |
- |
0,01 |
0,07 |
0,29 |
0,47 |
0,8 |
0,9 |
0,92 |
0,94 |
0,5 |
- |
- |
0,02 |
0,14 |
0,49 |
0,71 |
0,96 |
0,99 |
0,99 |
0,99 |
Продолжение табл. 3.9
1,0 |
- |
- |
0,03 |
0,25 |
0,74 |
0,92 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
2,5 |
- |
- |
0,08 |
0,52 |
0,97 |
1,0 |
- |
- |
- |
- |
5,0 |
- |
0,01 |
0,15 |
0,77 |
1,0 |
- |
- |
- |
- |
- |
10 |
- |
0,02 |
0,27 |
0,95 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
25 |
- |
0,05 |
0,56 |
0,99 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |