3. Теплопроводность при нестационарном режиме

3.1 Основные положения

Если температурное поле меняется во времени, то тепловые процессы, протекающие в таких условиях, называются нестационарными.

Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при охлаждении металлических заготовок, прокаливании твердых тел, в производстве стекла, обжиге кирпича, нагревании дерева, при вулканизации резины и т.п.

Передачу теплоты при нестационарном режиме можно определить, если найти закон изменения температурного поля и теплового потока во времени и в пространстве

и ,

где x,y,z –координаты точки; τ – время.

Указанные зависимости могут быть найдены из решения дифференциального уравнения теплопроводности Фурье

. (3.1)

При решении уравнения (3.1) необходимо задать граничные условия и начальное распределение температуры в теле.

Граничные условия задаются уравнением

, (3.2)

где – градиент температуры на поверхности;

α – коэффициент теплоотдачи между жидкой средой и поверхностью твердого тела;

λ_ст – коэффициент теплопроводности стенки;

t_пов– температура поверхности стенки;

t_среды – температура окружающей среды.

Физические величины λ,с, ρ считаются постоянными.

Температура рассматриваемого тела в начальный момент времени при τ=0 распределена равномерно, т.е.

.

Решение уравнения (3.1) и (3.2) с учетом граничных и временных условий дает уравнение температурного поля вида

. (3.3)

Из уравнения (3.3) видно, что температура зависит от большого числа переменных и постоянных параметров и решение его представляет весьма сложную математическую задачу.

При анализе уравнения (3.3) оказывается, что переменные можно сгруппировать в три безразмерных комплекса

– число Био;

– число Фурье;

– безразмерная координата.

Искомая функция в виде безразмерной температуры может быть представлена следующим уравнением

. (3.4)

Здесь и дальше под понимается избыточная температура тела, отсчитанная то температуры окружающей среды, т.е. .

2. Неограниченная пластина

Рассмотрим охлаждение плоскопараллельной пластины толщиной 2δ (l=δ). Размеры пластины в направлении осей Оу и Оz бесконечно велики (рис. 3.1). пластина омывается с обеих сторон жидкостью или газом с постоянной т емпературой t_ср, причем коэффициент теплоотдачи α для обеих поверхностей имеет одинаковое и постоянное значение.

Рис. 3.1.

В начальный момент времени пластина имеет во всех точках постоянную температуру t₀, поэтому и избыточная температура будет также постоянной для всех точек тела. Кроме того, заданы коэффициент теплопроводности λ_ст, плотность тела ρ и теплоемкость его с, величины которых полагаются постоянными. Коэффициент температуропроводности а определяется по уравнению . Т.к. пластина безгранична как по высоте, так и по ширине, то дифференциальное уравнение принимает вид

.

Граничное условие при

и начальное условие при τ=0

.

Температуры поверхности стенки и в ее средней плоскости определяются из соотношения

. (3.5)

Безразмерная координата x/l в средней плоскости и на поверхности пластины становится постоянной величиной (при х=0 x/l =0; при х=δ x/l =1) и поэтому отсутствует в уравнении (3.5)

. (3.6)

Количество теплоты, которое отдает (или воспринимает) пластина в окружающую среду за время τ, должно равняться изменению ее внутренней энергии за период полного ее охлаждения (нагревания).

Начальная внутренняя энергия пластины, отсчитанная от внутренней энергии при температуре среды, окружающей стенку, как от нуля, равна

. (3.7)

Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении пластины, определяется также безразмерными числами Bi и Fo

(3.8)

,

где Q_τ – количество теплоты, переданное в окружающую среду за время τ, Дж;

t_ср.ст – средняя температура стенки по истечении периода времени τ, ⁰С.

Зависимости (3.5), (3.6) и (3.7) даются в виде графиков или в виде таблиц 3.1, 3.2 и 3.3. Сначала вычисляются числа Bi и Fo, а потом по табл. 3.1, 3.2, 3.3 определяют . Т.к. t₀=t_ср и начальное теплосодержание известны, то легко вычисляются t_ст, t_п и Q_τ.

Таблица 3.1

Значения для неограниченной пластины

Bi	0,0001	0,001	0,01	0,1	0,5	1	4	10	20	50
Fo
0,02	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
0,05	-	-	-	-	-	-	1,0	1,0	1,0	1,0
0,1	-	-	1,0	1,0	1,0	1,0	0,98	0,97	0,96	0,95
0,5	-	1,0	0,99	0,97	0,87	0,78	0,56	0,46	0,41	0,39
1,0	-	1,0	0,99	0,92	0,70	0,54	0,25	0,16	0,13	0,12
2	-	1,0	0,98	0,83	0,46	0,31	0,06	0,02	0,01	0,01
5	-	1,0	0,95	0,62	0,13	0,03	0,0	0,0	0,0	0,0
10	1,0	0,99	0,90	0,37	0,02	0,0	-	-	-	-
20	1,0	0,98	0,82	0,14	0,0	-	-	-	-	-
50	1,0	0,96	0,61	0,01	-	-	-	-	-	-

Таблица 3.2

Значения для неограниченной пластины

Bi	0,0001	0,001	0,01	0,1	0,5	1	4	10	20	50
Fo
0,02	-	1,0	0,99	0,98	0,93	0,86	0,59	0,34	0,19	0,08
0,05	-	1,0	0,99	0,98	0,89	0,79	0,46	0,23	0,12	0,05
0,1	-	1,0	0,99	0,97	0,85	0,73	0,37	0,17	0,08	0,04
0,5	-	1,0	0,99	0,92	0,69	0,51	0,17	0,06	0,03	0,01
1,0	-	1,0	0,98	0,88	0,56	0,35	0,08	0,02	0,01	0,0
2	-	1,0	0,97	0,79	0,37	0,17	0,02	0,0	0,0	-
5	-	1,0	0,95	0,59	0,1	0,02	-	-	-	-
10	1,0	0,99	0,9	0,36	0,01	0,0	-	-	-	-
20	1,0	0,98	0,81	0,13	0,0	-	-	-	-	-
50	1,0	0,96	0,6	0,01	-	-	-	-	-	-

Таблица 3.3

Значения для неограниченной пластины

Bi		0,0001	0,001	0,01	0,1		0,2	0,5	1	4		10	50
Fo
0,02		-	-	-	-			0,01	0,02	0,05		0,09	0,12
0,05		-	-	-	0,01		0,01	0,02	0,04	0,12		0,18	0,23
0,1		-	-	-	0,02		0,03	0,05	0,08	0,2		0,27	0,34
0,5		-	-	-	0,05		0,09	0,2	0,32	0,58		0,69	0,75
1,0		-	-	0,01	0,1		0,17	0,35	0,53	0,81		0,89	0,92
2		-	-	0,02	0,17		0,31	0,59	0,78	0,96		0,98	0,99
5		-	-	0,05	0,39		0,63	0,88	0,98	1,0		1,0	1,0
10		-	0,01	0,1	0,62		0,84	0,99	1,0	-		-	-
20	-		0,02	0,18	0,81	0,93		1,0	-		-	-		-
50	0,01		0,04	0,39	0,92	0,99		-	-		-	-		-