№14Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции: Аналитический, Графический, Табличный.

Производная функции в точке – это  предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, где рассматривается только x > 0, называется правой производной функции f в точке x.(стремление к нулю справа)

Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, где рассматривается только x < 0, называется левой производной функции f в точке x.(стремление к нулю слева)

Если предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю равен бесконечности, то говорят, что функция имеет бесконечную производную.

Производная функции в точке, есть тангенс угла наклона касательной проведенной к графику функции в этой точке.

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f (x₀).Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициентf ’(x₀), называется касательной.

Уравнение касательной: y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀).

Для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim_ x 0f ( x) = f ₀, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX.

Физический смысл – мгновенная скорость и ускорение в данный момент времени.

№15   Дифференцируемость функции. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде y =A*x+α(x)*x, где α(x) – бесконечно малая функция при стремлении x0. Так же дифференцируемая функция в точке - это функция, у которой в данной точке существует дифференциал.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда существует конечная производная функции в этой точке (f ‘ (x₀)).

Необходимым условием дифференцируемости является непрерывность функции. Для дифференцируемости функции в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.

Если f(x) дифференцируема в точке, то она непрерывна. (не работает в обратную)

Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется главная линейная относительноΔx часть приращения функции Δy в данной точке. (главная часть приращения функции это A*x)

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1).

Геометрический смысл: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику.

Бесконечно дифференцируемая функция в данной точке – это функция, у которой в данной точке существует дифференциал n-го порядка.