
- •№1 Множество действительных чисел. Основные свойства. Точные грани множества:
- •№2 Числовые последовательности.
- •3. Сходящиеся последовательности.
- •№4 Основные теоремы о пределах последовательностей.
- •№6 Предел функции.
- •№7 Основные теоремы о пределах функций.
- •№8 Замечательные пределы.
- •№9 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение
- •№10 Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.
- •№11 Непрерывность функции.
- •№ 12 Точки разрыва функции. Непрерывность элементарных функций.
- •№13 Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •№14Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
- •№16 Основные правила и формулы дифференцирования.
- •№18 Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл производной второго порядка.
- •№20 Правила раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя.
- •№21 Формула Тейлора.
- •№22 Признак монотонности функции.
- •№ 23 Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •№ 24 Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •№ 25 Асимптоты графика функций.
- •№26 Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •№27 Метод непосредственного интегрирования.
- •№28 Метод подстановки.
- •№29 Метод интегрирования по частям.
- •№30 Интегрирование рациональных и тригонометрических функций.
- •№31 Интегрирование иррациональных функций.
- •№32 Понятие определенного интеграла. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции.
- •№33 Классы интегрируемых функций.
- •№34 Свойства определенного интеграла.
- •Геометрический смысл среднего значения
- •№35 Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •№36 Замена переменной в определенном интеграле
- •№39 Несобственные интегралы I и II рода
- •№40 Понятие функции нескольких переменных.
- •№41 Предел функции нескольких переменных.
- •№42 Непрерывность функции нескольких переменных.
№ 12 Точки разрыва функции. Непрерывность элементарных функций.
Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.
В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.
Способы задания функции: Аналитический, Графический, Табличный.
Пусть функция y=f(u) задана на множестве U и функция U=g(x) задана на множестве D, тогда говорят, что функция y=f(g(x)) определена на D и является сложной функцией.
Пусть задана функция y=f(x), эта функция определена в окрестности точки x=a. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке a, если существует предел функции при х->a и этот предел равен значению в точке а (Условия: 1. Функция определена. 2. Существует предел функции при х->a. 3. Предел равен значению в точке а). Т.е. lim f(x) = f(a), при xa.
Функция y=f(x) непрерывна в точке a, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Т.е. lim y =0, при x0.
Функция f(x) имеет точку разрыва при x=a, если в этой точке нарушается, хотя бы одно из условий непрерывности.
Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:
тогда
точка
называется точкой
устранимого разрыва функции
Если предел функции в данной точке отсутствует, то:
-если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
-если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.
Пусть функция (t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=(t0). Тогда сложная функция f((t)) также непрерывна в точке t0.
Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на множестве [a,b], то для нее существует обратная функция (1/f(x)),которая так же непрерывна и монотонна на множестве [c,d].
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a. Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функцийf (x) g (x) также непрерывно в точке x = a. Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций также непрерывно при x = a при условии, что .
Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.
№13 Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.
В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.
Способы задания функции: Аналитический, Графический, Табличный.
Пусть функция y=f(u) задана на множестве U и функция U=g(x) задана на множестве D, тогда говорят, что функция y=f(g(x)) определена на D и является сложной функцией.
Пусть задана функция y=f(x), эта функция определена в окрестности точки x=a. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке a, если существует предел функции при х->a и этот предел равен значению в точке а (Условия: 1. Функция определена. 2. Существует предел функции при х->a. 3. Предел равен значению в точке а). Т.е. lim f(x) = f(a), при xa.
Функция y=f(x) непрерывна в точке a, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Т.е. lim y =0, при x0.
Функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) если f(x) непрерывна в любой точке (x) этого интервала (x€(a,b)).
Функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала (a,b) и в точке x=a справа, а в точке x=b слева
Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.
(Теорема об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0. Тогда существует δ>0 такое, что для всех x принадлежащих отрезку (x0 – δ, x0 + δ) функция F(x) имеет тот же знак, что f(x0).
(Теорема о вложенных отрезках) Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка c принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.
Первая теорема Больцано — Коши промежуточных значениях непрерывной функции — это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними: Пусть дана непрерывная функция f на отрезке [a,b] . Пусть также f(a)≠f(b) и без ограничения общности предположим, что f(a)=A<B=f(b) Тогда для любого C € [A,B] существует c € [a,b] такое, что f(c)=C.
Если функция f(x) непрерывна и определена на X, следовательно, множество ее значений Y представляет собой некоторый промежуток.
(Первая теорема Вейерштрасса) Пусть функция y=f(x) непрерывна и определена на отрезке [a,b], тогда она ограничена на [a,b].
Вторая теорема Больцано – Коши. Пусть дана непрерывная функция y=f(x) на отрезке [a,b]. Тогда, если функция принимает значения разных знаков на концах этого отрезка, тогда существует точка c, такая что f(c)=0.
(Вторая теорема Вейерштрасса) Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a,b], тогда на этом отрезке она достигает своих точных верхней и нижней граней.