№ 12 Точки разрыва функции. Непрерывность элементарных функций.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции: Аналитический, Графический, Табличный.

Пусть функция y=f(u) задана на множестве U и функция U=g(x) задана на множестве D, тогда говорят, что функция y=f(g(x)) определена на D и является сложной функцией.

Пусть задана функция y=f(x), эта функция определена в окрестности точки x=a. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке a, если существует предел функции при х->a и этот предел равен значению в точке а (Условия: 1. Функция определена. 2. Существует предел функции при х->a. 3. Предел равен значению в точке а). Т.е. lim f(x) = f(a), при xa.

Функция y=f(x) непрерывна в точке a, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Т.е. lim y =0, при x0.

Функция f(x) имеет точку разрыва при x=a, если в этой точке нарушается, хотя бы одно из условий непрерывности.

Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка   называется точкой устранимого разрыва функции 

Если предел функции в данной точке отсутствует, то:

-если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

-если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Пусть функция (t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=(t₀). Тогда сложная функция f((t)) также непрерывна в точке t₀.

Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на множестве [a,b], то для нее существует обратная функция (1/f(x)),которая так же непрерывна и монотонна на множестве [c,d].

Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.  Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функцийf (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.  Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций   также непрерывно при x = a при условии, что  . 

Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

№13 Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции: Аналитический, Графический, Табличный.

Пусть функция y=f(u) задана на множестве U и функция U=g(x) задана на множестве D, тогда говорят, что функция y=f(g(x)) определена на D и является сложной функцией.

Пусть задана функция y=f(x), эта функция определена в окрестности точки x=a. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке a, если существует предел функции при х->a и этот предел равен значению в точке а (Условия: 1. Функция определена. 2. Существует предел функции при х->a. 3. Предел равен значению в точке а). Т.е. lim f(x) = f(a), при xa.

Функция y=f(x) непрерывна в точке a, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Т.е. lim y =0, при x0.

Функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) если f(x) непрерывна в любой точке (x) этого интервала (x€(a,b)).

Функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала (a,b) и в точке x=a справа, а в точке x=b слева

Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

(Теорема об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀) ≠ 0. Тогда существует δ>0 такое, что для всех x принадлежащих отрезку (x₀ – δ, x₀ + δ) функция F(x) имеет тот же знак, что f(x₀).

(Теорема о вложенных отрезках) Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка c принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.

Первая теорема Больцано — Коши промежуточных значениях непрерывной функции — это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними: Пусть дана непрерывная функция f на отрезке [a,b] . Пусть также f(a)≠f(b) и без ограничения общности предположим, что f(a)=A<B=f(b) Тогда для любого C € [A,B] существует c € [a,b] такое, что f(c)=C.

Если функция f(x) непрерывна и определена на X, следовательно, множество ее значений Y представляет собой некоторый промежуток.

(Первая теорема Вейерштрасса) Пусть функция y=f(x) непрерывна и определена на отрезке [a,b], тогда она ограничена на [a,b].

Вторая теорема Больцано – Коши. Пусть дана непрерывная функция y=f(x) на отрезке [a,b]. Тогда, если функция принимает значения разных знаков на концах этого отрезка, тогда существует точка c, такая что f(c)=0.

(Вторая теорема Вейерштрасса) Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a,b], тогда на этом отрезке она достигает своих точных верхней и нижней граней.