№10 Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции: Аналитический, Графический, Табличный.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой функцией при xa, если lim f(x)=0, при xa.

Через определение предела:

Функция y=f(x) называется бесконечно малой функцией при xa, если для любого ε>0 найдется такое δ(дельта)>0 такое что для любого х, удовлетворяющему неравенству |x-a|<δ, выполняется |f(x)|<ε.

Если для любого сколь угодно большого числа N существует такое дельта зависящее от N (δ(N)), что при 0<|x-a|< δ(N) выполняется |f(x)|>N, то функция y=f(x) называется бесконечно большой при xa. (lim f(x) = ∞)

Говорят, что функция y=f(x) является в точке a бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая функция y=g(x), если предел отношения f(x) к g(x) равен нулю (lim f(x)/g(x) = 0), при xa.

Говорят, что функции y=f(x) и y=g(x) являются в точке a бесконечно малыми одного порядка, если предел отношения f(x) к g(x) равен константе, и не равен нулю (lim f(x)/g(x) = const, ≠0), при xa.

Говорят, что функции y=f(x) и y=g(x) являются в точке a эквивалентными бесконечно малыми, если предел отношения f(x) к g(x) равен единице (lim f(x)/g(x) =1), при xa.

Говорят, что функция y=f(x) является в точке a бесконечно малой менее высокого порядка, чем бесконечно малая функция y=g(x), если предел отношения f(x) к g(x) равен бесконечности (lim f(x)/g(x) = ∞), при xa.

Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них. (справедливо обратное).

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

№11 Непрерывность функции.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции: Аналитический, Графический, Табличный.

Пусть функция y=f(u) задана на множестве U и функция U=g(x) задана на множестве D, тогда говорят, что функция y=f(g(x)) определена на D и является сложной функцией.

Пусть задана функция y=f(x), эта функция определена в окрестности точки x=a. Говорят, что функция f(x) непрерывна в точке a, если существует предел функции при х->a и этот предел равен значению в точке а (Условия: 1. Функция определена. 2. Существует предел функции при х->a. 3. Предел равен значению в точке а).

Т.е. lim f(x) = f(a), при xa.

Функция y=f(x) непрерывна в точке a, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Т.е. lim y =0, при x0.

Функция f(x) непрерывна на интервале (a,b) если f(x) непрерывна в любой точке (x) этого интервала (x€(a,b)).

Функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала (a,b) и в точке x=a справа, а в точке x=b слева

Функция y=f(x) непрерывна в точке a справа (слева), если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен значению f(a) функции f(x) в точке a.

Функция y=f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке а, если для любого ε>0 найдется такое δ>0 зависящее от ε, что для любого x принадлежащего интервалу (a;a+δ) ((a-δ;a)) выполняется |f(x)-f(a)|<ε.

Функция f(x) имеет точку разрыва при x=a, если в этой точке нарушается, хотя бы одно из условий непрерывности.

Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.  Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функцийf (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.  Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций   также непрерывно при x = a при условии, что  .