№6 Предел функции.
Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.
В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.
Способы задания функции:
Аналитический
Графический
Табличный
Пусть функция y=f(u) задана на множестве U и функция U=g(x) задана на множестве D, тогда говорят, что функция y=f(g(x)) определена на D и является сложной функцией.
Предел функции y=f(x) при хa
По Гейне ( на языке последовательностей):
Число А называется пределом функции y=f(x), при хa, если для любой последовательности аргументов сходящейся к а (хna, n∞) соответствующая последовательность значений функции f(xn) сходится к A.
По Коши ( на языке экселент-дельта (ε-δ)):
Число А называется пределом функции y=f(x), если при хa для любого ε>0 найдется такое δ(дельта)>0 такое что для любого х, удовлетворяющему неравенству |x-a|<δ, выполняется |f(x) – A|<ε.
Геометрический смысл определения предела функции:
Число А называется пределом функции y=f(x), если для любой ε-окрестности А найдется такая δ(дельта)-окрестность точки а, что для всех х≠а из этой дельта-окрестности соответствующие значения функции y=f(x) лежат в ε-окрестности точки А.
Предел функции y=f(x) при х+∞
По Коши: Число А называют пределом функции y=f(x), при х+∞, если для любого ε>0 существует M>0 такое что для любого х будет справедливо |х|>М выполняется |f(x)-A|<ε.
Односторонние пределы:
По Гейне:
Число А называют правосторонним (левосторонним) пределом функции y=f(x) в точке а, при ха справа(слева), если для любой последовательности аргументов {xn} сходящейся к а, такой что xn>a(xn<a), соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к А
По Коши:
Число А называется правым(левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любого числа ε найдется δ>0 такое, что для каждого х удовлетворяющего условию a<x<a+δ (a-ε<x<a), выполняется неравенство |f(x)-A|<ε.
Если существуют f(a+0) и f(a-0) причем f(a+0) = f(a-0) = А, то существует Lim f(x) = A, при xa.
Или Предел Lim f(x) = A, при xa существует тогда и только тогда, когда существуют пределы Lim f(x) при хa+0 и Lim f(x) при хa-0 и они равны. (Функция f (x) имеет в точке х0 конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны.)
№7 Основные теоремы о пределах функций.
Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.
В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.
Способы задания функции:
Аналитический
Графический
Табличный
Пусть функция y=f(u) задана на множестве U и функция U=g(x) задана на множестве D, тогда говорят, что функция y=f(g(x)) определена на D и является сложной функцией.
Предел функции y=f(x) при хa
По Гейне ( на языке последовательностей):
Число А называется пределом функции y=f(x), при хa, если для любой последовательности аргументов сходящейся к а (хna, n∞) соответствующая последовательность значений функции f(xn) сходится к A.
По Коши ( на языке экселент-дельта (ε-δ)):
Число А называется пределом функции y=f(x), если при хa для любого ε>0 найдется такое δ(дельта)>0 такое что для любого х, удовлетворяющему неравенству |x-a|<δ, выполняется |f(x) – A|<ε.
Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, может быть самой точки а, и lim f(x) =A, и lim g(x) =B , при хa. Тогда:
Lim (f(x)±g(x))=A±B, при хa.
Lim (f(x)*g(x)) =A*B, при хa.
Lim (f(x)/g(x))=A/B, B≠0, при хa.
Если
функция 
такая,
что 
для
всех
в
некоторой окрестности точки
,
причем функции 
и 
имеют
одинаковый предел при
,
то существует предел функции
при
,
равный этому же значению, то есть
Функция f (x) имеет в точке х0 конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны.
Геометрический смысл определения предела функции:
Число А называется пределом функции y=f(x), если для любой ε-окрестности А найдется такая δ(дельта)-окрестность точки а, что для всех х≠а из этой дельта-окрестности соответствующие значения функции y=f(x) лежат в ε-окрестности точки А.
Предел функции y=f(x) при х+∞
Теорема о существовании предела у монотонной функции: Длятого чтобы неубывающая на множестве E функция f:ER имела предел при xs, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.