№39 Несобственные интегралы I и II рода
Сумма вида
=f(ɛ1)*x1 +f(ɛ2)*x2 +….+ f(ɛn)*xn
- интегральная сумма для функции у = f(x), соответствующая разбиению inотрезка [a,b] точками x0, x1,…, xn (x0=a, xn=b).
Если существует предел интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю (limσJI0), то его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a,b].
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Несобственный интеграл I рода:
Пусть
функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a,+∞),
тогда если существует предел интеграла
lim 
при 
и
он конечный, то его называют несобственным
интегралом первого рода. Если указанный
предел существует, то интеграл сходится.
Если указанный предел не существует,
то интеграл расходится. Аналогично,
если бесконечность снизу.
Если бесконечность и сверху и снизу, то интеграл разбивается на 2 от (-∞;0) и от (0;+∞)
Тогда:
Если оба интеграла сходятся, то общий интеграл сходится.
Если 1 сходится, а другой расходится, то первоначальный расходится.
Если оба расходятся, то первоначальный может сходиться или расходиться.
Пусть на интервале [a;+∞) заданы непрерывные функции f(x) и φ(x) и пусть 0≤f(x)≤ φ(x) для любого x из этого интервала. Тогда из сходимости определенного интеграла ∫φ(x)dx с нижним пределом =a, и верхним пределом = +∞ будет вытекать сходимость интеграла ∫f(x)dx с теми же пределами. Из расходимости первого (∫φ(x)dx) будет вытекать расходимость ∫f(x)dx с нижним пределом =a, и верхним пределом = +∞.
Интегралы второго рода:
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b) и в точке x=b функция f(x) терпит бесконечный разрыв, тогда если существует предел интеграла lim при ɛ0 и он конечный, то этот предел называют несобственным интегралом второго рода. Если указанный предел существует, то интеграл сходится. Если указанный предел не существует, то интеграл расходится. Где ɛ-окрестность точки b. Аналогично, если разрыв в точке a. Если разрыв в обоих точках, то разбитие на 2 интеграла и выполнение трех прошлых условий.
Пусть на интервале [a;b) заданы непрерывные функции f(x) и φ(x), в точке x=b обе терпят бесконечный разрыв и пусть 0≤f(x)≤ φ(x) для любого x из этого интервала. Тогда из сходимости определенного интеграла ∫φ(x)dx с нижним пределом =a, и верхним пределом =b будет вытекать сходимость интеграла ∫f(x)dx с теми же пределами. Из расходимости первого (∫φ(x)dx) будет вытекать расходимость ∫f(x)dx с нижним пределом =a, и верхним пределом = b.
Пусть на интервале [a;b) заданы непрерывные функции f(x) и φ(x) и в точке x=b обе терпят бесконечный разрыв. Тогда если существует конечный предел lim f(x)/ φ(x), равный ненулевой константе, то интегралы ∫φ(x)dx с нижним пределом =a, и верхним пределом =b и ∫f(x)dx будут сходиться или расходится одновременно.