№28 Метод подстановки.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический

2. Графический

3. Табличный

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде y =A*x+α(x)*x, где α(x) – бесконечно малая функция при стремлении x0. Так же дифференцируемая функция в точке - это функция, у которой в данной точке существует дифференциал.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда существует конечная производная функции в этой точке (f ‘ (x₀)).

Функция y=F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на отрезке [a,b], если производная функции F(x) равна функции f(x) ( F’(x)=f(x) ), для всех x из отрезка [a,b].

Если функция y=F(x)является первообразной для функции y=f(x), то выражение «F(x) +C» называется неопределенным интегралом функции y=f(x).

Если у = F(х) — первообразная для функции у = f(х), то у функции у = f(х) бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = F(х) + С.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда для нее существует интеграл.

Производная функции в точке – это  предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

1)Замена переменной в неопределенном интеграле:

X=£(t), где t-новая переменная, £ - непрерывно дифференцируемая функция.

Для вычисления интеграла    Можно сделать подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную, тогда

2) Тригонометрическая подстановка:

Если есть sqrt(a²-x²), то x=a*sin t ; sqrt(x²-a² ), то x=a*sec t, и другие. (основная тригонометрическая, гиперболическая)

№29 Метод интегрирования по частям.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический

2. Графический

3. Табличный

Функция y=F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на отрезке [a,b], если производная функции F(x) равна функции f(x) ( F’(x)=f(x) ), для всех x из отрезка [a,b].

Если функция y=F(x)является первообразной для функции y=f(x), то выражение «F(x) +C» называется неопределенным интегралом функции y=f(x).

Если у = F(х) — первообразная для функции у = f(х), то у функции у = f(х) бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = F(х) + С.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда для нее существует интеграл.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде y =A*x+α(x)*x, где α(x) – бесконечно малая функция при стремлении x0. Так же дифференцируемая функция в точке - это функция, у которой в данной точке существует дифференциал.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда существует конечная производная функции в этой точке (f ‘ (x₀)).

Производная функции в точке – это  предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .