№ 23 Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический

2. Графический

3. Табличный

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде y =A*x+α(x)*x, где α(x) – бесконечно малая функция при стремлении x0. Так же дифференцируемая функция в точке - это функция, у которой в данной точке существует дифференциал.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда существует конечная производная функции в этой точке (f ‘ (x₀)).

Точка х₀ называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f(x) , если существует такая окрестность точки   х₀ , что для всех   x из этой окрестности f(x) ≤ f(x₀)  (f(x) ≥ f(x₀)) .

Необходимое условие локального экстремума функции: Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Геометрический смысл: в точках локального экстремума касательные параллельны оси абсцисс. (х)

Достаточное: Если функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, тогда если f' (x) при переходе через x₀меняет знак с минуса на плюс (с плюса на минус), то в точке x₀функция f(x) имеет локальный минимум (локальный максимум). Если производная не меняет знак, то локального экстремума нет.

Достаточное условие существования точки локального экстремума дважды дифференцируемой функции:

Пусть функция   непрерывна и дважды дифференцируема на  ; для всякого  и    – непрерывная функция. Тогда если    и   , то при   точка   является точкой локального минимума функции  , а при      – точка локального максимума функции  .

№ 24 Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.

Соответствие f, которое каждому элементу x множества X сопоставляет единственный элемент y множества У называется функцией.

В этом случае Х – область определения функции, У – область значений функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический

2. Графический

3. Табличный

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде y =A*x+α(x)*x, где α(x) – бесконечно малая функция при стремлении x0. Так же дифференцируемая функция в точке - это функция, у которой в данной точке существует дифференциал.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда существует конечная производная функции в этой точке (f ‘ (x₀)).

Говорят, что график функции   имеет на интервале   выпуклость, направленную вниз, если график этой функции расположен не ниже любой своей касательной.

Говорят, что график функции   имеет на интервале   выпуклость, направленную вверх, если график этой функции расположен не выше любой своей касательной.

Если функция y=f(x) на интервале (a,b) имеет вторую производную и она f “ ≥ 0, тогда f(x) имеет направление выпуклости вниз.

Если функция y=f(x) на интервале (a,b) имеет вторую производную и она f “ ≤ 0, тогда f(x) имеет направление выпуклости вверх.

Точкой перегиба графика функции называется точка, в которой меняется направление выпуклости графика. ( Это внутренняя точка   области определения  , такая что   непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и   является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот).

Необходимое условие существования точки перегиба:

Если f(x) в точке x₀ имеет перегиб и f(x) в этой точке имеет непрерывную вторую производную, тогда она равна нулю f “ (x₀) = 0.

Достаточное условие:

Если f “ (x) имеет разные знаки справа и слева в точке x₀, тогда точка x₀ – точка перегиба.