№1 Множество действительных чисел. Основные свойства. Точные грани множества:

Понятие множества одно из аксиоматических, т.е. не имеющее определение, но можно дать описание множества - Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления, которые будут называться «элементами» множества M.

Множество вещественных чисел называется ограниченным, если существует такое число М > 0 что для любого элемента х данного множества справедливо неравенство  .  Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число Р, что для любого элемента х данного множества имеет место неравенство  (соответственно  ).

Множество вещественных чисел не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу

Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

Предельной точкой числового множества называется точка числовой прямой, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этого множества.

Верхняя грань множества М чисел – такое число В, что для любого элемента х множества М имеет место соотношение х ≤ В

Нижняя грань множества М чисел – такое число А, что для любого элемента х множества М имеет место соотношение х ≥ М

точная верхняя грань множества М – наименьшая из всех верхних граней. Ее обозначают через sup M.

точная нижняя граница множества М – наибольшую из всех нижних граней. Ее обозначают через infМ

Свойства множеств:

Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым множеством.

 Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М.

Каждое множество М является подмножеством самого себя.

 Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N.

 Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N.

Симметрической разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М - или только множеству N.

№2 Числовые последовательности.

 Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число x. В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция:x=F(n), которая называется числовой последовательностью.

Последовательность Xn называется ограниченной, если существует A такое, что для любого натурального n выполняется |Xn|≤A.

Последовательность Хn неограниченная, если для любого А найдется натуральное n такое, что |Xn|>A.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают (для любого натурального n) ( или ).

Последовательность   называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы   этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Последовательность   называется бесконечные малой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы   этой последовательности удовлетворяют неравенству |x_n|<A .

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство |x_n-a|≤ ε.

Последовательность {x_n}называется сходящей, если существует ее предел.

Если последовательность такая, что {y_b}≤{x_n}≤{z_n} для всех   в некоторой окрестности точки  , причем последовательности  {y_b} и {z_n}  имеют одинаковый предел при  , то существует предел последовательности  при  , равный этому же значению, то есть

Lim _n∞y_n=Lim _n∞z_n=a =>Lim _n∞x_n=a