25.Сложение пар сил. Условие равновесия пар.

Теорема. Система пар, действующих на тело в одной плоскости, эквивалентна паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов пар системы. Допустим, на тело действуют три пары (рис. а), моменты которых  ,   и   известны. Каждую из заданных пар заменим эквивалентной парой соответственно  ,  ,  , но с одинаковыми плечами  , т. e. ,  ,  , и расположим эти пары так, чтобы их силы действовали вдоль двух параллельных прямых (рис. б).

Как известно, равнодействующая сил, действующих вдоль одной прямой, направлена по той же прямой и модуль ее равен алгебраической сумме составляющих сил. Поэтому, сложив силы, приложенные к точкам  ,  ,   и к точкам  ,  ,  , получим равнодействующую пару  , эквивалентную трем заданным парам (рис. в). При этом  .

Момент равнодействующей пары    ,

а так как  , то  или  . Теорема доказана.

Распространяя равенство   на любое число пар, действующих на тело, можем записать .

Следовательно, для того чтобы сложить любое число пар, действующих на тело в одной плоскости, достаточно алгебраически сложить моменты этих пар. Полученный в результате сложения момент и определяет равнодействующую пару сил.

Если в результате сложения пар  , то действующие на тело пары образуют уравновешенную систему. Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия системы пар выражается одним уравнением ,

т. е. для равновесия системы пар сил, действующих на тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма их моментов была равна нулю.

Значит, систему пар или одну пар можно уравновесить только парой.

26. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Рассмотрим пример построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M_x.

1. Изображаем расчетную схему (рис. 3.9, а).

2. Определяем реакции опор. Первоначально выбираем произвольное направление реакций (рис. 3.9, а) 

Так как реакция R_B с минусом, изменяем выбранное направление на противоположное (рис. 3.9, б), а про минус забываем.

Проверка: 

Y = 0,  R_A - 2qa + R_B - qa = qa - 2qa + 2qa - qa = 0.

3. Расчетная схема имеет три силовых участка.

I участок АС: 0 < z₁ < a. Начало координат выбираем в крайней левой точке А. Рассмотрим равновесие отсеченной части бруса (рис. 3.10).

В сечении возникают внутренние усилия:

поперечная сила 

Q = qa = const

и изгибающий момент 

M_x = qa * z₁ при z₁ = 0 M_x = 0; при z₁ = a M_x = qa².

II участок CB: 0 < z₂ < 2a. Начало координат перенесено в начало участка С (рис. 3.11).

На этом участке 

при z₂ = 0 Q = qa, M_x = -qa²;

при z₂ = 2 Q = -qa, M_x = qa². 

 

На 2-м участке в уравнении моментов аргумент z₂ имеет 2-ю степень, значит эпюра будет кривой второго порядка, т.е. параболой. На этом участке поперечная сила меняет знак (в начале участка +qa, а в конце -qa), значет на эпюре M_x будет экстремум в точке, Q = 0. Определяем координату сечения, в котором экстремальное значение M_x, приравнивая нулю выражение поперечной силы на этом участке. 

Определяем величину экстремального момента (с учетом знака):

III учаток BD: 0 < z₃ < a. Начало координат на третьем участке помещено в крайней правой точке (рис. 3.12). 

Здесь Q = qa = const; M_x = -qa*z₃; при z₃ = 0 M_x = 0; при z₃ = a M_x = -qa².

4. Строим эпюры Q и M_x (рис. 3.13, б и в). 

5. Проверка построения.