1.1.5 Дифференцируемость функции двух переменных, дифференциал

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р₀(х₀,у₀) частные производные f¢_x(х₀,у₀) и f¢_у(х₀,у₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x₀+Dx,y₀+Dу), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение:

Df(х₀,у₀) = f(x₀+Dx,y₀+Dy) – f(x₀,y₀) = f(R₀) – f(P₀).

Определение 9. Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде:

Df(х₀,у₀) = f¢_x(х₀,у₀)Dx + f¢_у(х₀,у₀)Dу + a(Dx;Dу) Dx + b(Dx;Dу)Dу,  (1)

где

,

то функция называется дифференцируемой в точке Р₀(х₀,у₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функцииf(x,y) в точке Р₀ и обозначается df(x₀,y₀):

df(x₀,y₀) = f¢_x(х₀,у₀)Dx + f¢_у(х₀,у₀)Dу. (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx  и Dу . Таким образом

df = f¢_x dх + f¢_у dу.

3. Классификация областей.

4. Производная и дифференциал фнп: частные производные, геометрический смысл (уравнение нормали и касательной плоскости).

5. Производная сложной и неявной функции, полная производная.

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение   :  . Отсюда получим формулу для производной функции     , заданной неявно:    . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением    :  ,  .Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории. Пусть функция имеет вид   и ее аргументы зависят от времени:  . Тогда  , где   — параметры задающие траекторию. Полная производная функции f (в точке  ) в таком случае равна частной производной g по времени (в соответствующей точке  ) и может быть вычислена по формуле:

,

где   — частные производные. Следует отметить, что обозначение   является условным и не имеет отношения к делению дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Например, полная производная функции f(x(t),y(t)):

Здесь нет   так как f сама по себе («явно») не зависит от t.

6. Частные производные и дифференциал высших порядков фнп.

7. Экстремум функции нескольких переменных.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования.

  Пусть дана функция z=f(x,y) которая определена и непрерывна в окресности точки М0(х0,у0) включая саму точку. Точка М0(х0,у0) называется точкой максимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 что для всех точек М(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0,y0)>f(x,y) для ∀М(x,y)∈U(M0).

Точка М0(х0,у0) называется точкой минимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 что для всех точек М(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0,y0)<f(x,y) для ∀М(x,y)∈U(M0).      Определениямаксимумаиминимумафункцииможноперефразировать с помощью полного приращения фун-ии.

Точка М0(х0,у0) называется точкой локального максимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 полное приращение фун-ии ?z=f(x,y)-f(x0,y0)<0  и точка М0(х0,у0) называется точкой локального минимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 полное приращение фун-ии ?z=f(x,y)-f(x0,y0)>0.

Т: (необходимое условие существования точек экстремума) Пусть функция z=f(x,y) диференцируема в окресности точки М0(х0,у0) и точка М0(х0,у0) является точкой экстремума, тогда в точке экстремума часные производные равны нулю.    Док-во: Пусть точка М0(х0,у0) является точкой экстремума фун-ии z=f(x,y). Положим в функции у=у0 мы получим функцию z=f(x,y0) которая является фун-ей одной переменной “х” и для нее точка М0 также является точкой экстремума. На основании необходимого условия существования экстремума для фун-ии одной переменной производная должна быть равна нулю, т.к. производная находилась от фун-ии двух переменных по переменной “х” при условии, что “у” принимает постоянное значение – это является частной производной ⇒∂z/∂х=0. Аналогичноположивх=х0, мыполучим∂z/∂у=0 вточкеэкстремума.

Точки из области определения функции в которых частные производные равны нулю или несуществуютназ критическими точками функции.