Марковский М.В. Исследование операций МИФИ, кафедра 36

Исследование операций

Курс построен на основе книги Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Советское радио, 1972 г.

Основные определения

Исследование операций – математическая дисциплина, занимающаяся построением, разработкой и применением математических моделей принятия оптимальных решений во всех областях человеческой деятельности.

Операция – это всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Пусть необходимо выполнить какое-либо мероприятие для достижения определенной цели (операцию). Обычно существует свобода выбора в том, как это мероприятие организовать (например, выбор техники, распределение ресурсов и т.д.). "Решение" – это какой-то выбор из ряда допустимых возможностей.

Краеугольным камнем исследования операций является математическое моделирование. Данные, полученные при исследовании математических моделей являются основой для принятия решений. Но общих способов построения математических моделей и методов их решения не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается исходя из вида операции, ее целевой направленности, с учетом задачи исследования.

Наиболее известными методами исследования операций (являющимися, зачастую, самостоятельными математическими дисциплинами), являются:

• Математическое программирование – теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). (Присутствие в названии термина «программирование» объясняется тем, что первые исследования оптимизационных задач были в сфере экономики, а в английском языке слово «programming» означает планирование, составление планов или программ).

• Сетевые модели – решение оптимизационных задач с использованием графов.

• Марковские процессы – метод решения стохастических задач, где процесс принятия решений можно представить конечным числом состояний.

• Теория игр – методы изучения оптимальных стратегий в играх. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

• Теория массового обслуживания (теория очередей) – раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, длительности ожидания и длины очередей.

• Имитационное моделирование – метод исследования, при котором изучаемая система заменяется компьютерной моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему, и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией.

Примеры типичных задач исследования операций. Показатель эффективности.

Рассмотрим примеры типичных задач исследования операций:

1. План снабжения предприятий. Имеется ряд предприятий, потребляющих известные виды сырья, и есть ряд сырьевых баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы связаны с предприятиями какими-то путями сообщения со своими тарифами. Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем (с какой базы, в каком количестве и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимальных расходах на перевозки.

2. Постройка участка магистрали. Сооружается участок железнодорожной магистрали. В нашем распоряжении – определенное количество средств: людей, строительных машин, ремонтных мастерских, грузовых автомобилей и т.д. Требуется спланировать строительство (т. е. назначить очередность работ, распределить машины и людей по участкам пути, обеспечить ремонтные работы) так, чтобы оно было завершено в минимально возможный срок.

3. Продажа сезонных товаров. Для реализации определенной массы сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать разумным образом: число точек, их размещение, товарные запасы и количество персонала на каждой из них так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

4. Воздушный налет. Организуется воздушный налет группы самолетов на объект противника. Требуется рационально организовать операцию: выбрать количество самолетов, маршруты и высоту полета, способ атаки так, чтобы с максимальной уверенностью обеспечить выполнение боевого задания.

5. Повышение надежности сложного устройства. Сложное техническое устройство время от времени может отказывать. Требуется разработать систему мер, направленных на уменьшение частоты появления отказов (например, посредством дублирования блоков устройства, проведением их плановой профилактики и замены и т.д.).

6. Медицинское обследование. Известно, что в каком-то районе обнаружены случаи опасного заболевания. С целью выявления заболевших (или носителей инфекции) организуется медицинское обследование жителей района. На это выделены материальные средства, оборудование, медицинский персонал. Требуется разработать такой план обследования (число медпунктов, их размещение, последовательность осмотров специалистами, виды анализов и т.д.), который позволит выявить, по возможности, максимальный процент заболевших и носителей инфекции.

7. Библиотечное обслуживание. В фондах библиотеки имеются книги, пользующиеся повышенным спросом, книги, на которые требования поступают реже и, наконец, книги, почти никогда не запрашиваемые. Имеется ряд возможностей распределения книг по стеллажам и хранилищам, а также по диспетчеризации запросов с обращениями в другие библиотеки. Нужно разработать такую систему библиотечного обслуживания, при которой запросы абонентов удовлетворяются в максимальной мере.

Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь количественный критерий, называемый показателем эффективности или целевой функцией. Оптимальное решение приводит показатель эффективности к максимуму или минимуму (в зависимости от вида показателя). Для приведенных выше примеров показатели эффективности могут быть следующими:

1. План снабжения предприятий. Суммарные расходы R на перевозки сырья за единицу времени, например, месяц (R  min).

2. Постройка участка магистрали. Среднее ожидаемое время Т окончания стройки (Т  min).

3. Продажа сезонных товаров. Средняя ожидаемая прибыль П от реализации товаров за сезон (П  max).

4. Воздушный налет. Вероятность P того, что цель будет поражена (P  max).

5. Повышение надежности сложного устройства. Среднее время T безотказной работы устройства (Т  max).

6. Медицинское обследование. Средний процент (доля) Q больных и носителей инфекции, которых удалось выявить (Q  max).

7. Библиотечное обслуживание. Среднее время Т ожидания книги читателем, подавшим на нее заявку (Т  min).