12. Преобразования плоскости в курсе геометрии.

Цели введения:м.построить всю геометрию как науку о св-ах фигур инвариантных отн-но геом.преобразований.

Мет.геом.преобразований позволяют решать задачи, док-ть теоремы, осуществлять связь геом.и алгебры (построение графиков ф-ий: ||ый перенос, центр. И осевая симметрия, сжатие, сдвиг, поворот).

Пропедевтика: 5-6:знак-во с осевой, центр.симметрией(Дорофеев,Шарыгин)

Подходы к введению геом.преобразований:1)-на основе понятия отображения(как в ВУЗе); -виды: инъекция+сюръекция=биекция; -преобразования мн-ва (биекция мн-ва на себя); -виды преобразований: движение-преобразование пл-ти,сохраняющее расстояние.

2)рассм.различн.преобр-ия фигур на примерах, а затем опред-ся движения и их виды.

В некот.учебниках(АВР,Атанасян-доп.главы) рассм. Инверсия-как пример отображения, которым прямая может отобразиться в окружность.

Атанасян практически с первых уроков использует термин «наложение».Поэтому в9кл.при изучении движений док-ся Т.:Любое наложение есть движение.

Т.к.геом.преобразования изучаются в конце9кл., то практич.применения для док-ва теорем и решения задач не остается. Поэтому необх.по вози-ти применять этот метод в других темах.Н-ер,познакомить уч-ся с использованием преобазований для решения задач на построение ||ым переносом, подобием и т.д.

Теоретический материал по движениям м.рассм-ть на итоговом повторении.Часть м. рассм.без док-ва.

Центральным вопросом явл-ся изучение подобия. Изучать его м.как в учебнике или применяя пр.подобия по гот.чертежам.

Для решения задач и док-ва теорем уч-ся д.уметь: -строить образы фигур; -находить соответствующие точки; -выделять Эл-ты, определяющие преобразование; -строить ось, центр симметрии, угол поворота; -использовать св-ва преобразований

14 Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90◦

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Опр. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Г оворят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.

Если прямая а перпендикулярна к плоскости, то она очевидно пересекает эту плоскость. В самом деле если бы прямая и не пересекала плоскость, то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость.

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Е сли одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Замечания. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом только одна.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Рекомендации. Материал темы обобщает и систематизирует известные вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве , а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии. Решения практически всех задач на вычисления сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности или перпендикулярности плоскостей.