10. Векторный метод в курсе геометрии.

Векторы - один из самых молодых вопросов, влк-их в школьный курс геометрии. Обозначение вектора ввел в 1853 г Коши, а единичные векторы i,j,k в том же году Гамельтон.

Векторный метод тесно связан с координатным. На векторной основе излагается линейная алгебра, аналитическая, дифференциальная геометрия. Векторы широко используются в физике.

В математике вектор – элемент векторного пространства.

Векторное пространство – множество на котором заданны операции +, * на число, скалярное произведение, которые удовлетворяют некоторым аксиомам (коммутативность сложения, ассоциативность сложения, существование нейтрального элемента относительно сложения и т.д.).

Программы ( место и время изучения).

Существует несколько подходов.1. вектор- это направленный отрезок (такого подхода придерживаются Погорелов, Атанасян и др.). 2. Множество параллельных переносов. Таким образом вектор – это параллельный перенос (Колмогоров).

АВР – величины, которые характеризуются численными значениями и направлением называют векторами.

Векторы изображают направленными отрезками.

Недостатки: - громоздкость доказательства свойств сумм векторов и произведений вектора на число; - непоследовательность: сумма векторов не зависит от выбора начальной точки следовательно, предполагается, что вектор – это множество сонаправленых отрезков равной длины.

Содержание материала.

Подчеркиваем разницу в определении координат вектора.

Применение. См в учебниках (когда изучается)

Решение задач и доказательство теорем с помощью векторов предполагает =>этапы, аналогично МК

1.перевести задачу на язык координат

2.выбрать удобную с/c координат

3.выполнить преобразования аналитических выражений в координатах

4.осуществить обратный переход: перевести результат на язык формулировки задачи.

Глейзер выделяет 3направления развития вект.исчисления:1) геометрическое - исчисление отрезков; 2) физическое-исследование вект.величин; 3)алгебраическое-расширение понятия операции при созд.соврем.алгебры.

ЗУНы : - умение переводить задачу на язык векторов и на оборот; - выполнять операции над векторами; - представить вектор в виде суммы и разности других векторов; -умножать вектор на число; - преобразовывать векторные соотношения; - переходить от соотношения между векторами к соотношению между длинами и наоборот; - находить угол через скалярное произведение.

Проблема при изучении темы:

- то что изучение поздно можно проводить функциональные занятия. На них можно рассмотреть вывод уравнений прямой, скалярное произведение, угол между прямыми, расположение прямых и т.д.

Задачи векторным способом см. уч. Шарыгин.

11. Метод координат в курсе геометрии.

1. Метод координат

Мотивация: в геометрии среди методов доказательства теорем и решения задач существуют три тесно связанных между собой: метод координат, векторный и метод преобразований. Они позволяют осуществить общий подход к решению задач, к выводу уравнений фигур, изучение их свойств. Например, аналитическая геометрия основывается полностью на методе координат, векторном методе и элементарном геометрическом преобразовании.

2. Однако, данные методы были введены в курс средней школы в связи с реформой школьного образования в 70-х 80-х годах (Колмогоров).

До этого (уч.Киселева, Никитина) этих методов либо не было, либо приводились как частные примеры (осевая симметрия). Но эти методы позволяют позволяют решать задачи более экономным методом, применяя опред.алгоритмы.

3. Историческая справка. Метод координат был известен еще до нашей эры Апполоний (III век до н.э.) задавал гиперболу, параболу и эллипс с помощью координат: у²=рх(парабола), x²/a²-y²/b²=1(гипербола), x²/a²+y²/b²=1(эллипс).

При этом он считал, что парабола это равенство, гипербола – избыток, а эллипс – недостаток. Впервые систематическое изложение данной темы было изложено Пьером Ферма и Реле Декарт. И Ферма и Декарт рассматривали только положительные координаты. Автором аналитической геометрии является Декарт. Ему удалось связать алгебру и геометрию. ПДСК была введена в 1637 г. Декарт: «Я решил все задачи»

4. Пропедевтика

5-6 кл. это всё находится на изображении чисел на числовой прямой, шкале, координатной плоскости.

Программа (место и время изучения данной темы, содержание, перечислить понятия).

Существуют два различных подхода к ведению ПДСК.

1-й подход: через векторы – совокупность единичных взаимно перпендикулярных векторов (орты), тогда координаты точки определяются как коэффициенты разложения вектора соответствующего точке (радиус вектор) по ортам (i,j,k).

2-й подход: в ПДСК – это совокупность 3-х (2-х) взаимно перпендикулярных прямых с выбранным направлением и масштабом.

Метод координат – задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геом.соотношения можно решать геом.задачу средствами алгебры.

Среди авторов школьных учебников Погорелов отводит данной теме большое внимание. У Погорелова 2 подход. Многие теоремы планиметрии доказываются с помощью метода координат. Тема «Вектора» излагается на основе метода координат.

Атанасян. Имеется отдельная глава в 9 кл после темы «Векторы» => поэтому у него 1-й подход.

Александров. Подробное изучение метода координат в 10-м кл. По содержанию значительно шире, чем у предыдущих авторов. Например, задание сферы уравнением, задание шара неравенствами, взаимное расположение плоскости и сферы с помощью линейных уравнений, а так же другие системы координат, например, полярная система координат на сфере.

Геометрия … кл Вернер, Рыжик, Ходот.

О собенности: координаты рассматриваются и в плоскости и в пространстве.

При решении задач и доказательстве теории необходимо умение выполнить => этапа:

1. перевести задачу на язык координат

2. выбрать удобную с/c координат

3. выполнить преобразования аналитических выражений в координатах

4. осуществить обратный переход: перевести результат на язык формулировки задачи.

Наиболее распространённые среди задач решаемые с помощью МК следующие:

1. на обоснование зависимости между элементами фигур

2. нахождение множества точек удовлетворяющих определённым свойствам, т.е. уравнению фигур.

2-й метод предполагает совокупность следующих ЗУНов.1. построение точек по координатам. 2. нахождение координат точки. 3. вычисление расстояний между точками.4. оптимальный выбор системы координат. 5.состояние уравнений фигур по ее свойствам.6. распознование фигуры по ее уравнению. 7. преобразование алгебраических выражений.

Для формирования этих ЗУНов было бы полезно проводить лабораторные работы на построение точек по координатам, конкурсы, игровые занятия. Нахождение геометрических образов по уравнениям и т.д.